1. Свойства и методы исследования нелинейных систем

С математической точки зрения наиболее существенным отличием линейных систем от нелинейных является то, что к последним не применяется принцип суперпозиции реакция нелинейной системы на несколько влияний и не равняется сумме реакций на отдельные влияния. Если, например, есть нелинейная квадратичная зависимость то при : получаем , что не равняется сумме и [2].

К нелинейным системам также не применяется принцип коммутативности, т.е. в системе нельзя менять местами между собой нелинейные элементы, а также нелинейные и линейные элементы.

Для исследования нелинейных систем нельзя применять преобразование Лапласа и Фурье и получены на их основе передаточные функции, потому что эти преобразования являются линейными.

Особенностью нелинейных систем является возможность возникновения у них стойких колебаний определенной амплитуды и частоты – автоколебаний.

Стойкость нелинейных систем определяется не только структурой и параметры системы автоматического управления (как в линейных системах), но зависит и от начальных отклонений по отношению к состоянию равновесия.

Все эти особенности нелинейных САУ обусловили необходимость разработки ряда методов для их исследования, в результате которого должны быть решены следующие основные задачи:

– анализ влияния нелинейностей, присущих реальным элементам, на процессы в линеаризованных системах;

– анализ стойкости существенно нелинейных систем, обнаружение автоколебаний и определения их амплитуды и частоты, определения точности системы и ее реакции, на внешние влияния;

– коррекция САУ с помощью нелинейных коррекционных устройств и синтез существенно нелинейных систем, которые имеют заданные динамические характеристики.

Классификация методов для исследования нелинейных систем, которые получили практическое применение, приведена на рис. 1.7, [11,12].

2.Составляющие мощности на нелинейной индуктивности

Рассмотрим принцип формирования составляющих мгновенной мощности на нелинейной индуктивности. Нелинейность индуктивности определяется через зависимость ЭДС в функции тока, который протекает через эту индуктивность. Применительно к электродвигателю эта зависимость может быть получена как характеристика холостого хода. В любой случаи зависимость ЭДС от тока можно аппроксимировать полиномом [12]:

, (2.1)

где h – порядок полинома.

Нелинейная индуктивность пропорциональна производной ЭДС:

(2.2)

Ток имеет несинусоидальный характер при протекании через нелинейную индуктивность и может быть представлен тригонометрическим рядом (3.4). Тогда выражение для нелинейной индуктивности можно представить в виде:

, (2.3)

где – постоянные составляющие нелинейной индуктивности;

– соответственно косинусные и синусные составляющие нелинейной индуктивности на высших гармониках;

– число гармоник нелинейной индуктивности.

ЭДС определяется производной от произведения тока на нелинейную индуктивность:

. (2.4)

С учетом выражений (3.19), (3.20) и математических преобразований, получим:

(2.5)

где – постоянная составляющая ЭДС;

s – номер гармоники косинусных и синусных составляющих ЭДС;

S – число гармоник косинусных и синусных составляющих ЭДС;

– косинусные составляющие ЭДС:

(2.6)

– синусные составляющие ЭДС:

(2.7)

Мгновенная мощность на нелинейной индуктивности:

(2.8)

где – номер гармоники мощности;

K – число гармоник мощности.

Средняя мощность за период определяется интегрированием мгновенной мощности с учетом следующих соображений:

; ;

Интегралы от косинусных и синусных составляющих равны нулю. В выражении для мощности на нелинейной индуктивности постоянная составляющая получается для случая, когда . Тогда мощность за период равна:

(2.9)

Выражение для мгновенной мощности на индуктивности рассмотрим для частного случая, а именно применительно к кривой намагничивания асинхронного двигателя (рис. 3.7). Использование аппарата мгновенной мощности позволяет провести разделение потерь в стали на гистерезисные потери и потери от вихревых токов [12, 91].

Выражение для магнитного потока в функции тока при аппроксимации кривой намагничивания можно получить в виде:

, (2.10)

где – ток, протекающий через нелинейную индуктивность;

– постоянные составляющие.

Коэффициенты определяются при аппроксимации кривой намагничивания, приведенной на рис. 3.7. На рис. 3.7 а соответствует кривой холостого хода (намагничивания), б – зависимости индуктивности от тока.

Выражение для полигармонического сигнала тока может быть представлено в виде:

или

, (2.11)

где – постоянная составляющая тока;

– косинусные составляющие тока;

– синусные составляющие тока.

Рис. 2.1. Кривая намагничивания и зависимость насыщаемой индуктивности

Индуктивность определяется в соответствии с известными закономерностями и имеет вид, представленный на рис. 2.1:

, (2.12)

где k – коэффициент, учитывающий конструктивные особенности двигателя.

Индуктивность в зависимости от времени можно получить, если подставить в (3.29) зависимость тока от времени:

(2.13)

Таким образом, ЭДС любого элемента электромеханической системы независимо от выражения для его определения, равно:

(2.14)

где – постоянная составляющая ЭДС.

Составляющие мгновенной мощности определяются произведением гармонических составляющих ЭДС и составляющих тока. Общие выражения для составляющих мгновенной мощности и ЭДС на линейных и нелинейных элементах схемы замещения .

Таким образом, полученные зависимости для мгновенной мощности позволяют значительно расширить возможности аппарата определения электромагнитных параметров асинхронных двигателей. Использование нелинейностей в схеме замещения приводит к учету параметров, характеризирующих изменение характеристик двигателя, которые прошли ремонт и находятся долгое время в эксплуатации. На основании вышеизложенных способов определения составляющих мгновенной мощности можно получить выражения для постоянной, косинусных и синусных составляющих мощности на гармониках для любого элемента электромеханической системы.