1.1.2 Властивості і методи дослідження нелінійних систем

З математичної точки зору найбільш істотною відмінністю лінійних систем від нелінійних є те, що до останніх не застосовується принцип суперпозиції реакція нелінійної системи на декілька впливів і не дорівнює сумі реакцій на окремі впливи. Якщо, наприклад, є нелінійна квадратична залежність те : одержуємо, що не дорівнює сумі і [2].

К нелінійним системам також не застосовується принцип комутативності, тобто в системі не можна міняти місцями між собою нелінійні елементи, а також нелінійні і лінійні елементи.

Для дослідження нелінійних систем не можна застосовувати перетворення Лапласа і Фур'є і одержані на їх основі передавальні функції, тому що ці перетворення є лінійними.

Особливістю нелінійних систем є можливість виникнення у них стійких коливань певної амплітуди і частоти - автоколебаній.

Стійкість нелінійних систем визначається не тільки структурою і параметри системи автоматичного управління (як в лінійних системах), але залежить і від початкових відхилень по відношенню до стану рівноваги.

Всі ці особливості нелінійних САУ зумовили необхідність розробки ряду методів для їх дослідження, в результаті якого повинні бути вирішені наступні основні завдання:

- аналіз впливу нелінейностей, властивих реальним елементам, на процеси в лінеаризованих системах;

- аналіз стійкості істотно нелінійних систем, виявлення автоколебаній і визначення їх амплітуди і частоти, визначення точності системи і її реакції, на зовнішні впливи;

- корекція САУ за допомогою нелінійних коректувальних пристроїв і синтез істотно нелінійних систем, які мають задані динамічні характеристики.

Класифікація методів для дослідження нелінійних систем, які одержали практичне застосування, приведена на мал. 1.7 [11,12].

2 Що Становлять потужності на нелінійній індуктивності

Розглянемо принцип формування складових миттєвої потужності на нелінійній індуктивності. Нелінійність індуктивності визначається через залежність ЕДС у функції струму, який протікає через цю індуктивність. Стосовно електродвигуна ця залежність може бути одержана як характеристика холостого ходу. У будь-якій випадки залежність ЕДС від струму можна апроксимувати поліномом [12]:

, (2.1)

де h - порядок полінома.

Нелінійна індуктивність пропорційна похідною ЕДС:

(2.2)

Струм має несинусоїдальний характер при протіканні через нелінійну індуктивність і може бути представлений тригонометричним рядом (3.4). Тоді вираз для нелінійної індуктивності можна представити у вигляді:

, (2.3)

де - постійні складові нелінійної індуктивності;

- відповідно косинусниє і синусним складовим нелінійної індуктивності на вищих гармоніках;

- число гармонік нелінійної індуктивності.

ЕДС визначається похідною від твору струму на нелінійну індуктивність:

. (2.4)

З урахуванням виразів (3.19), (3.20) і математичних перетворень, одержимо:

(2.5)

де - постійна складова ЕДС;

s - номер гармоніки косинусних і синусних складових ЕДС;

S - число гармонік косинусних і синусних складових ЕДС;

- косинусниє складові ЕДС:

(2.6)

- синусні складові ЕДС:

(2.7)

Миттєва потужність на нелінійній індуктивності:

(2.8)

де - номер гармоніки потужності;

K - число гармонік потужності.

Середня потужність за період визначається інтеграцією миттєвої потужності з урахуванням наступних міркувань:

; ;

Інтеграли від косинусних і синусних складових рівні нулю. У виразі для потужності на нелінійній індуктивності постійна складова виходить для випадку, коли . Тоді потужність за період рівна:

(2.9)

Вираз для миттєвої потужності на індуктивності розглянемо для окремого випадку, а саме стосовно кривої намагнічення асинхронного двигуна (мал. 3.7). Використання апарату миттєвої потужності дозволяє провести розділення втрат в сталі на гістерезисні втрати і втрати від вихрових струмів [12, 91].

Вираз для магнітного потоку у функції струму при апроксимації кривої намагнічення можна одержати у вигляді:

, (2.10)

де - струм, що протікає через нелінійну індуктивність;

- постійні складові.

Коефіцієнти визначаються при апроксимації кривої намагнічення, приведеної на мал. 3.7. На мал. 3.7 а відповідає кривій холостого ходу (намагнічення), би - залежності індуктивності від струму.

Вираз для полігармонічного сигналу струму може бути представлений у вигляді:

або

, (2.11)

де - постійна складова струму;

- косинусниє складові струму;

- синусні складові струму.

Мал. 2.1. Крива намагнічення і залежність індуктивності, що насищається

Індуктивність визначається відповідно до відомих закономірностей і має вигляд, представлений на мал. 2.1:

, (2.12)

де до - коефіцієнт, що враховує конструктивні особливості двигуна.

Індуктивність залежно від часу можна одержати, якщо підставити в (3.29) залежність струму від часу:

(2.13)

Таким чином, ЕДС будь-якого елементу електромеханічної системи незалежно від виразу для його визначення, рівно:

(2.14)

де - постійна складова ЕДС.

Складові миттєвої потужності визначаються твором гармонійних складових ЕДС і складових струму. Загальні вирази для складових миттєвої потужності і ЕДС на лінійних і нелінійних елементах схеми заміщення .

Таким чином, одержані залежності для миттєвої потужності дозволяють значно розширити можливості апарату визначення електромагнітних параметрів асинхронних двигунів. Використання нелінейностей в схемі заміщення приводить до обліку параметрів, характерізірующих зміна характеристик двигуна, які пройшли ремонт і знаходяться довгий час в експлуатації. На підставі вищевикладених способів визначення складових миттєвої потужності можна одержати вирази для постійної, косинусних і синусних складових потужності на гармоніках для будь-якого елементу електромеханічної системи.