1.1 Аналіз методів і принципів опису нелінійних електромеханічних систем

1.1.1 Нелінійності в автоматичних системах

Диференціальні рівняння, що описують динаміку процесів в автоматичних системах, можуть бути нелінійними унаслідок того, що в них деякі змінні або їх похідні за часом входять не в першому ступені або є твір змінних і похідних або інша нелінійна комбінація. Крім того, коефіцієнти рівнянь можуть бути функціями змінних і їх похідних.

Нелінійні автоматичні системи звичайно є комплексом довільного кінцевого числа ланок, причому динаміка більшості з них описується рівнянням диференціальними лінійними, а одне або декілька ланок описуються рівнянням нелінійними.[1,3,8]

Як лінійні, так і нелінійні системи при дослідженні зручно представляти структурними схемами (математичними моделями). Для прикладу на мал. 1.1 представлена структурна схема нелінійної системи, в якій лінійні ланки позначені передавальними функціями з відповідними індексами, а нелінійна ланка представлена у вигляді деякої нелінійної функції . На схемі через g позначено задаючу дію, через у - вихідна величина системи, а через f1 і f2 - що обурюють дії, прикладені до системи.

Малюнок - 1.1 Структурна схема нелінійної системи

При розгляді нелінійних ланок слід відрізнити поняття нелінійної ланки від поняття нелінійності. Нелінійною ланкою називається деякий елемент системи, який описується рівнянням нелінійним, наприклад

- безінерційна нелінійна ланка (тут х1 і х2 - вхідна і вихідна величини нелінійної ланки);

- інерційна нелінійна ланка;

або рівнянням

- нелінійна ланка з тимчасовим запізнюванням.

Під знаком нелінійної функції може знаходитися як вхідна, так і вихідна змінна нелінійної ланки. Нелінійна ланка може описуватися рівнянням, містить як лінійні, так і нелінійні члени. Під нелінійністю розуміється нелінійна функція, що входить в рівняння нелінійної ланки.[4,7]

При застосуванні деяких методів дослідження нелінійних систем, наприклад методу гармонійної лінеаризації, зручно переходити до згорнутих структурних схем, виділяючи нелінійну ланку, а всі лінійні ланки об'єднуючи в єдиний структурний блок, званий лінійною частиною системи. Так, нелінійну систему із структурною схемою, зображеною на мал. 1.1, в згорнутому вигляді можна представити, як показано на мал. 1.2, а.

Малюнок - 1.2 Структурна схема нелінійної системи

Лінійна частина системи сама по собі може мати будь-яку структуру, зокрема багатоконтурну, з різного вигляду коректуючими пристроями.

При цьому, віднісши до лінійної частини лінійне рівняння, одержимо приведену лінійну частину і нелінійність (мал. 1.2б). У нелінійних автоматичних системах дуже часто нелінійності доводиться враховувати у вигляді статичних характеристик (статичні нелінійності). Ці характеристики можуть бути такими, що однозначними непарно-симетричними, двозначними гістерезисними, однозначними парно-симетричними, двозначними випереджають і в загальному випадку будь-якими несиметричними.

Малюнок - 1.3 Однозначні непарно-симетричні нелінійності: а - ідеальна релейна характеристика б - релейна характеристика із зоною нечутливості в - характеристика з насиченням або обмеженням, г - характеристика із змінним коефіцієнтом посилення.

Тут і далі на статичних характеристиках кут нахилу відповідної ділянки в цілях економії місця позначається умовно через до замість arctg до (до є коефіцієнт посилення).[5,8,9,10]

Малюнок - 1.4 Деякі гістерезисні двозначні статичні характеристики: а - релейна характеристика загального вигляду, би - релейна гістерезисна характеристика в - характеристика для обліку люфта або зазора

Малюнок - 1.5 що Двозначні випереджають характеристики, а - у відповідають спеціально створюваним нелінійним коректуючим пристроям

Малюнок - 1.6 Несиметричні статичні нелінійності а, би, в - четносимметрічная нелінійна характеристика

Облік однієї нелінійності в системі представляє простіше завдання розрахунку нелінійних автоматичних систем. Часто доводиться враховувати декілька істотних нелінейностей. Окрім статичних, в диференціальні рівняння можуть входити нелінійності від похідних змінних нелінійної ланки - динамічні нелінійності. [1,8,10]