1. Миттєва потужність

Аналіз енергопроцесів, що відображають поведінку електромеханічного комплексу, який включає електромеханічну систему і виробничий механізм з передавальним пристроєм, слід проводити з використанням рівнянь балансу потужностей або енергій. Ефективне застосування такого підходу можливо за наявності сукупності рівнянь для складових миттєвої потужності у всіх елементах електротехнічного комплексу. Базовим рівнянням балансу є рівність миттєвої потужності джерела живлення Pи(t) і сум миттєвих потужностей елементарних споживачів, що входять в комплекс:

де - індекс відповідного елементарного споживача; - кількість елементарних споживачів.

Баланс потужності витікає як наслідок з теореми Телледжена: сума творів напруг Ui і струмів Ii всіх гілок ланцюга, що задовольняють законам Кирхгофа, рівна нулю. Твір UiIi є миттєвою потужністю Pi i-й гілки, тому сума потужностей всіх гілок ланцюга дорівнює нулю. Якщо виділити гілки з незалежними джерелами, то баланс потужності можна сформулювати таким чином: сума потужностей, що віддаються незалежними джерелами, дорівнює сумі потужностей, споживаних рештою гілок електричного ланцюга.

Стосовно відомої Т-подібної схеми заміщення асинхронного двигуна з індуктівностямі розсіяння статора і ротора, індуктивністю контура намагнічення, опором статора, опором ротора і опором контура намагнічення, як елементарні споживачі виступає кожний з параметрів схеми заміщення. Рівняння балансу миттєвої потужності однієї фази двигуна складаються у вигляді рівності складових миттєвої потужності джерела живлення і складових миттєвої потужності всіх елементів електромеханічної системи:

де - значення миттєвих потужностей елементів схеми заміщення:

- для активного опору ;

- для індуктивності ;

- для місткості ;

- для нелінійного активного опору

;

- для нелінійної індуктивності

де - залишкова ЕДС.

Використання цих завісимостей для практичних цілей, наприклад, рішення ідентифікаційних задач або оцінки характеру енергетичного режиму, здійснюється шляхом представлення напруг і струмів в ланцюгах аналізованої схеми у вигляді гармонійних рядів. Це найпростіше реалізується за допомогою рядів Фур'є. При цьому з'являється можливість використовувати рівняння балансу косинусних і синусних складових всього ансамблю гармонік миттєвої потужності.

Представимо несинусоїдальні залежності напруги і струму у формі усічених гармонійних рядів:

де - амплітудні значення складових напруги вищих гармонік; - номер гармоніки напруги; - число гармонік напруги; - кругова частота мережі; - кут зрушення фаз між напругою і речовинною віссю ЀаЀ (приймаємо, що вектор першої гармоніки напруги співпадає з речовинною віссю, тобто ); - амплітудні значення складових струму вищих гармонік; - номер гармоніки струму; - число гармонік струму; - кут зрушення фаз між струмом і напругою.

Використовуючи прості координатні перетворення з речовинною віссю ЀаЀ і уявної ЀbЀ, одержимо:

де

тут - косинусниє гармонійні складові напруги і струму; - синусні гармонійні складові напруги і струму.

Тоді залежність для миттєвої потужності набуває вигляду:

Із залежності виходить, що миттєва потужність складається з двох груп складових. Перша група утворюється в результаті множення одночастотних компонент напруги і струму, тобто при . При цьому частоти гармонік миттєвої потужності рівні і . Нульова частота відповідає постійному значенню потужності.

Друга група складових миттєвої потужності утворюється в результаті множення різночастотних компонент напруги і струму (). Частоти гармонік миттєвої потужності при цьому рівні .

Для зручності іменуємо частоти і складові миттєвої потужності, одержані шляхом перемножування одночастотних складових, канонічними частотами і складовими і відзначаємо індексом ЀсЀ (, ), а відповідні частоти і складові миттєвої потужності, одержані в результаті перемножування різночастотних компонент, - неканонічними і позначимо індексом ЀsЀ (, ). Таким чином, при маємо гармоніки потужності канонічного порядку, а при - неканонічного порядку .

Очевидно також і те, що при певних значеннях m і n може мати місце рівність Це означає, що сумарне значення гармонік к-го порядку в загальному випадку повинне визначатися у формі сум к-х складових (канонічних і неканонічних):

Розділення знакозмінних складових потужності на канонічні і неканонічні дозволяє записати вираз для потужності у такому вигляді:

Гармоніки потужності (косинусниє і синусні) з частотами до виражаються так:

де

Значення косинусних і синусних складових миттєвої потужності в тих випадках, коли відомі залежності, можна також визначити так:

Таким чином, миттєва потужність окрім постійної компоненти включає косинусниє і синусні, канонічні і неканонічні складові. Частоти гармонік миттєвої потужності (k) формуються в результаті множення всього ансамблю гармонік напруги (n) і струму (m) і визначаються так . Так, наприклад, 4-а гармоніка миттєвої потужності () за наявності в сигналах напруги і струму гармонік з номерами формується всіма даними гармоніками, тобто ; ; .

Картину формування гармонік миттєвої потужності, її канонічних і неканонічних складових можна бачити з табл. 1.1. Для прикладу приймемо гармоніки напруги і струму з номерами . Постійна складова формується з одночастотних складових напруги і струму ; ; ; . При перемножуванні одночастотних компонент напруги і струму формуються також канонічні складові миттєвої потужності ; ; ; . Множення різночастотних компонентів веде до появи неканонічних складових миттєвої потужності, тобто при . Повна потужність включає суму як канонічних, так і неканонічних складових .

Виконаний аналіз указує на можливість отримання залежності, що зв'язує складові струму і напруги на конкретному елементі схеми заміщення з компонентами миттєвої потужності -го порядку. Це в свою чергу дозволяє скласти рівняння балансу гармонік миттєвої потужності, що становлять, на елементах схеми заміщення і джерелі полігармонічної напруги.

Таблиця 1.1 - Таблиця гармонік напруги, струму і складових миттєвої потужності

Аналізовані гармонікиГармоніки

01234567891011121314

струму (m)-1-3-5-7-------

напруги (n)-1-3-5-7-------

миттєвої потужності (k)0-2-4-6-8-10-12-14

канонічних складових миттєвої потужності (kс)0-2---6---10---14

неканонічних складових миттєвої потужності (ks)--2-4-6-8-10-12--

Рівняння балансу потужності мають загальний характер і формуються у вигляді рівності складових потужності джерела живлення і складових потужності всіх елементів електромеханічної системи. Як складові потужності можуть бути використані активна потужність, реактивна потужність, канонічні складові гармонік миттєвої потужності, неканонічні складові гармонік миттєвої потужності, повні складові гармонік миттєвої потужності, які включають канонічні і неканонічні складові. Рівняння балансу потужностей приймають вигляд:

- рівняння балансу активної потужності ;

- рівняння балансу реактивної потужності ;

- рівняння балансу тих, що канонічних становлять миттєвій потужності ;

- рівняння балансу тих, що неканонічних становлять миттєвій потужності ;

- рівняння балансу тих, що повних становлять миттєвій потужності .

Як показали дослідження, достатньо ефективні методи ідентифікації параметрів електромеханічних систем базуються на рівняннях балансу потужності ланцюгів схем заміщення. Визначення електромагнітних параметрів можливо при живленні асинхронного двигуна полігармонічною напругою. Схему заміщення асинхронного двигуна при живленні від тірісторного регулятора напруги можна представити Т-подібною схемою заміщення, яка складається з первинного контура (), контура намагнічення () і вторинного ланцюга ().

Система рівнянь балансу потужностей для Т-подібної схеми заміщення складається для кожної з гармонік у вигляді рівності складових миттєвої потужності джерела полігармонічної напруги сумі складових миттєвої потужності на активних і індуктивних опорах і роторного ланцюгів статора і контура намагнічення:

де - постійні складові миттєвої потужності відповідно джерела полігармонічної напруги і активних опорів первинного ланцюга, контура намагнічення і вторинного ланцюга; - косинусниє і синусні складові миттєвої потужності джерела полігармонічної напруги; - косинусниє і синусні складові миттєвої потужності на активних опорах первинного ланцюга, контура намагнічення і вторинного ланцюга; - косинусниє і синусні складові миттєвої потужності на індуктівностях первинному ланцюзі, контура намагнічення і вторинного ланцюга.

Рівняння балансу потужностей при використанні трьох гармонік напруги і струму () приймуть вигляд:

Аналіз приведених рівнянь балансу гармонік миттєвої потужності показує, що для визначення електромагнітних параметрів асинхронного двигуна за допомогою Т-подібної схеми заміщення досить використовувати три гармоніки напруги і струму, оскільки при цьому виходить 11 складових миттєвої потужності при 11 невідомих схеми заміщення (опір статора R1 визначається наперед).