2. Джерела і класифікація похибок

1) Похибки математичної моделі.

Математична модель лише наближено відображає реальні фізичні явища. Вже на етапі формулювання неперервної математичної моделі приймаються певні припущення, задаються значення параметрів процесу, констант моделі й т.ін.

2) Похибки вихідних даних

Вихідні дані часто є основним джерелом похибок. Вихідні дані, як правило, – це числа неточні (дані для обчислень дістають з експерименту, а кожний експеримент може дати результат лише з обмеженою точністю).

Похибки вихідних даних разом з похибками математичної моделі називають неусувними (незалежними від обчислювача) похибками обчислювального експерименту. Формулюючи математичну модель варто дати оцінку величини похибки вихідних даних – це необхідно для адекватної оцінки майбутніх результатів.

3) Похибка чисельного метода.

Побудова дискретної моделі досліджуваного процесу пов’язана із заміною неперервних математичних операторів (інтегрування, диференціювання) їх дискретними наближеннями. Наприклад, замість суми ряду беруть суму скінченого числа його членів, інтеграл замінюють скінченою сумою, нескінчений ітераційний процес обривають після скінченого числа ітерацій і т. ін.

Похибка, що виникає при заміні неперервного оператора його дискретним аналогом, називається похибкою дискретизації.

Похибка чисельного метода є регулюємо, тобто вона може бути зроблена як завгодно малою за допомогою вибору досить малих значень параметрів дискретизації (наприклад, шагу інтегрування, числа членів скінченої суми й т. ін.).

3) Похибки округлення.

Ще одним джерелом похибок чисельного результату є власне обчислювальний інструмент, точніше, використовуваний у ньому спосіб подання дійсних чисел і скінченне число комірок пам'яті комп’ютера, що відводиться для подання кожного числа. Це приводить до того, що множина дійсних чисел, представлена в ЕОМ, дискретна, і машинне відбиття будь-якого дійсного числа завжди містить певну похибку — похибку округлення. У ході реалізації будь-якого алгоритму ці похибки деяким чином переробляються, чим, зокрема, і визначається похибка результату. Ясно, що ця похибка залежить як від похибки подання чисел в комп’ютері (похибка округлення), так і від властивостей алгоритму — саме від його чутливості до помилок округлення. Алгоритм називається стійким, якщо в ході його реалізації похибка результату залишається обмеженою.

3. Представлення чисел в комп’ютері Машинний нуль, машинна нескінченність.

Розглянемо два основних способи наближеного запису дійсних чисел.

1) Зображення у формі з плаваючою комою.

Розглянемо природу помилки округлення при поданні дійсних чисел у формі із плаваючою комою. Будь-яке дійсне число в цій формі має вигляд:

де – мантиса числа, – його порядок.

Якщо мантису числа подано у вигляді:

то при отримаємо нормалізовану форму з плаваючою комою:

Приклад. Число –273,9 можна записати у вигляді: , , . Останній запис є нормалізованою формою числа з з плаваючою комою.

2) Зображення у формі з фіксованою комою.

Звичайний запис –273,9 називається формою запису з фіксованою комою. Зараз таке представлення використовується в комп’ютерах, як правило, тільки на етапі вводу і виводу чисел.

Кожна з форм запису чисел має свої переваги. При зображенні чисел у формі з фіксованою комою арифметичні операції виконуються швидше, але діапазон чисел, які зображаються в такій формі, значно вужчий. Зображення чисел у формі з плаваючою комою розповсюджено значно ширше саме з-за можливості подати у такій формі числа, які сильно відрізняються за величиною.

Все сказане вище розповсюджується на числа, записані в системах числення, відмінних від десяткової. Будь-яке число дійсне число в системі числення з основою можна записати у вигляді:

де – цілі числа, . З цього запису випливає, що підмножина дійсних чисел, з якою оперує конкретний комп’ютер (множина машинних чисел), скінченна і визначається розрядністю і межами порядку (). Можна показати, що ця підмножина містить