Розділ 1 Множини, відношення
Тема 1. Елементи теорії множин і відношень
1. Зміст та задачі дискретної математики
Дискретна
математика (скінчена математика) –
розділ математики, що вивчає властивості
об’єктів дискретного характеру. Під
дискретними об’єктами в математиці
розуміють ті, які в сукупності утворюють
скінченну або зчисленну множину.
Дискретні об’єкти принципово відрізняються
від неперервних (таких, наприклад, як
всі дійсні числа з відрізку
).
Функції, що є відповідностями між неперервними множинами, можуть бути задані так, щоб забезпечувалася можливість виконання операції диференціювання, на основі якої побудовані великі розділи математики. Для дискретних функцій, що є відповідностями між дискретними множинами операція диференціювання в її звичайному розумінні (тобто, операція, яка потребує переходу до границі) неможлива.
Дискретна математика вивчає властивості різноманітних дискретних множин і побудованих на їх основі відношень, функцій, операторів.
Основними задачами дискретної математики є:
-
з'ясування того, які властивості мають ті чи інші дискретні об’єкти разом з заданими на них функціями, операціями, відношеннями (аналіз);
-
побудова дискретних об’єктів, які задовольняють заданим властивостям (синтез).
Дискретна математика зародилася в давні часи. Як каже сама назва, головною її специфікою є дискретність, тобто відсутність неперервності. У більш як двотисячорічній історії дискретної математики сучасний період є одним з найінтенсивніших періодів її розвитку. Ще порівняно недавно ця наука була сферою інтересів лише вузького кола фахівців, а тепер вона перетворилася на дуже важливу і потрібну для багатьох наукову дисципліну.
Сьогодні дискретна математика є не тільки фундаментом математичної кібернетики і теоретичної інформатики, але й важливою ланкою математичної освіти. Дискретна математика включає такі вже сформовані розділи математики, як теорію множин, математичну логіку, теорію алгебраїчних систем, комбінаторику і нові розділи, які найбільш інтенсивно стали розвиватися в середині XX сторіччя в зв'язку з науково-технічним прогресом і масовим використанням ЕОМ: теорію кодування, теорію скінчених автоматів та ін.
2. Поняття множини. Способи завдання множини. Відношення між множинами. Діаграми Ейлера-Венна.
2. Поняття множини. Способи задання множини.
Більшу частину понять дискретної математики можна визначити за допомогою поняття множини. Множина - основне, первинне й невизначуване поняття математики. Під множиною розуміють сукупність певних об’єктів, які об’єднані спільними властивостями. При цьому природа самих об'єктів, що становлять ту або іншу множину нас не буде цікавити. Творець теорії множин Георг Кантор давав наступне означення множини - " множина є багато чого, мислиме нами як ціле."
У повсякденному житті та практичній діяльності для позначення поняття множини використовують також слова: набір, клас, система, комплекс і т. ін. Але й у математиці термін множина має низку синонімів. Так, замість «множина значень змінної» можна сказати «область значень змінної», замість «множина кривих» – «сім’я кривих», замість «множина двох рівнянь» – «система двох рівнянь» і т. ін.
Об’єкти будь-якої природи, що утворюють множину, називаються її елементами. Наприклад, в множині студентів університету елементом буде студент, в множині днів тижня елемент – «четвер». Елементами множин можуть бути самі множини. Наприклад, множина академгруп університету, кожна академгрупа –множина студентів.
Для
позначення конкретних множин використовують
великі букви латинського алфавіту:
або
великі букви з індексами
.
Для
позначення елементів множин використовують
малі букви латинського алфавіту:
або малі букви з індексами
.
Належність
елемента множині позначається символом
:
– елемент
належить множині
;
неналежність елемента множині позначається
символом
:
.
Означення.
Множина
називається скінченою,
якщо вона складається з скінченого
числа елементів. Множина, що не містить
жодного елемента, називається порожньою
і позначається символом .
Кількість елементів у скінченій множині
називається потужністю
множини
и позначається
.
Множина вважається заданою, якщо про будь-який її елемент можна сказати, належить він цій множині чи не належить. Множина може бути задана такими способами:
1. Вербальним (мовним) за допомогою опису характеристичних властивостей, які повинні мати елементи множини.
2.
Переліком (або списком) елементів.
Наприклад:
.
Порядок елементів у записі множини значення не має:
.
Вважається, що всі елементи множини різні. Цей спосіб завдання застосовується тільки для скінчених множин з невеликим числом елементів.
Тому множини часто задають переліком частини множини, з якого можна зрозуміти, що являє собою вся множина.
Приклади стислого представлення множин:
1.
;
2.
;
3.
.
3. За допомогою характеристичних властивостей елементів даної множини (тобто властивостей, які мають всі елементи даної множини і тільки вони). Наприклад:
1.
,
2.
;
3.
.
4. Аналітичним, за допомогою символів операцій над множинами та дужок.