7. Властивості бінарних відношень

У випадку рівності і відношення визначене на декартовому квадраті множини : . Якщо для двох елементів , тобто знаходяться у відношенні , то це записують як . Якщо для двох елементів не виконується , то це записують як .

Означення. Відношення називається рефлексивним, якщо воно завжди виконується між елементом і ним самим. ().

Приклади.

1. Відношення нестрогої нерівності на множинах .

На стрілковій схемі рефлексивного відношення для кожного вузла існує стрілка, яка починається і закінчується в цьому вузлі .

Означення. Відношення називається антирефлексивным, якщо воно не виконується для будь-якого елемента. ().

Приклади.

1. Відношення строгої рівності на множинах .

2. Відношення „бути начальником”, „бути братом”, „бути молодшим” на множині людей.

Означення. Відношення називається симетричним, якщо для будь-яких елементів при виконанні виконується . ().

Приклади:

1. Відношення рівності на множинах .

2. ”бути симетричним відносно осі ”.

3. Відношення „бути братом” на множині людей.

На стрілковій схемі симетричного відношення для кожної стрілки, яка з’єднує два вузла існує також стрілка, яка з’єднує ці вузли у зворотному напрямку.

Означення. Відношення називається антисиметричним, якщо і виконуються одночасно тоді і тільки тоді, коли . ()

Приклади:

1. Відношення нестрогої нерівності на множинах .

и .

На стрілковій схемі антисиметричного відношення існує хоча б одна пара вузлів, які зв’язані двома стрілками.

Зауваження. Властивості симетричності і антисиметричності не є взаємно виключними.

Означення. Відношення називається асиметричним, якщо для будь-яких елементів або або . ()

Приклади.

1. Відношення строгого включення в множині всіх підмножин деякого універсуму.

2. Відношення „бути батьком” в множині людей.

Означення. Відношення називається транзитивным, якщо для будь-яких з і випливає . ()

Приклади.

1. Відношення =, , «жити в одному місті».

2. Відношення ‘‘мати непорожній переріз’’ на системі множин не є транзитивним.

На стрілковій схемі транзитивного відношення для кожної пари стрілок, напрямлених від до і від до існує також стрілка, напрямлена від до . я

8. Відношення еквівалентності. Фактор-множина.

Означення. Відношення на множині називається відношенням еквівалентності (Позначається спеціальним символом ~.), якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне, тобто:

1) ~;

2) ~~;

3) ~ і ~ ~.

Приклади:

1. Відношення рівності на будь-якій множині.

2. Відношення подібності на множині плоских трикутників.

3. Відношення ‘‘мати той самий залишок від ділення на 7’’ на множині N.

Означення. Класом еквівалентності елемента множини називається множина всіх елементів множини , які еквівалентні . Позначається .

~ }.

Приклад. Нехай – фіксоване натуральне число. Визначимо на множині цілих чисел відношення:

.

Для класи еквівалентності мають вид:

=={11, 21, ..., -9, 10976631, ...};

=={12, 22, ..., -8, 10976632, ...};

=={66, 226, -24, ...}.

Означення. Множина всіх класів еквівалентності деякої множини , утворених за відношенням еквівалентності ~, називається фактормножиною множини за даним відношенням еквівалентності. Позначається ~.

Фактормножина ~ визначає розбиття множини на підмножини, які попарно не перерізаються – на класи еквівалентності.