
- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Определение 53
Углом между прямыми
называется угол между направляющими
векторами этих прямых. Направляющий
вектор первой прямой имеет координаты
,
второй прямой
.
Угол между этими векторами
2) Условия на принадлежность прямых одной плоскости
Пусть прямые заданы уравнениями
Обозначим
направляющий вектор с координатами
через
,
вектор с координатами
через
.
Обозначим
.
Если прямые параллельны, то через них
можно провести плоскость и векторы
компланарны. Если прямые пересекаются,
то через них можно провести плоскость
и векторы
компланарны. Если прямые скрещивающиеся,
то векторы
некомпланарны. Таким образом условие
принадлежности прямых одной плоскости
записывается
или в координатах:
3) Угол между прямой и плоскостью
Пусть плоскость
задана уравнением
,
а прямая уравнением
.
Обозначим через
вектор с координатами
,
через
вектор с координатами
.
Угол между векторами
и
через
,
угол между прямой и плоскостью, через
.
Угол
удовлетворяет неравенству
.
Поэтому
4) Нахождение проекции точки на плоскость
Определение 54
Проекцией точки
на плоскость
называется точка
такая, что
и
.
Пусть плоскость
задана уравнением
,
точка
имеет координаты
,
- вектор с координатами
.
Напишем параметрическое
уравнение прямой, проходящей через
точку
перпендикулярно плоскости.
Точка
лежит на этой прямой и принадлежит
плоскости, поэтому ее координаты
удовлетворяют уравнению
Координаты точки
5) Проекция точки на прямую
Определение 55
Проекцией точки
на прямую
называется точка
такая, что
и
.
Пусть прямая задана
уравнением
.
Направляющий вектор
,
точка
.
Уравнение плоскости, проходящей через
точку
,
перпендикулярную прямой:
.
Точка
,
являющаяся пересечением плоскости и
прямой, является проекцией точки
на прямую и является проекцией точки
на плоскость. Параметрическое уравнение
прямой:
Подставляем в уравнение плоскости:
.
Таким образом координаты точки
:
6) Уравнение прямой, перпендикулярной двум скрещивающимся прямым
Пусть заданы прямые
Вектор
перпендикулярен первой и второй прямой,
значит он является направляющим вектором
прямой, перпендикулярной скрещивающимся
прямым. Плоскость, проходящая через
искомую прямую и первую прямую задается
уравнением
,
где
- координаты вектора
.
Плоскость, проходящая через искомую
прямую и вторую прямую задается уравнением
,
где
- координаты вектора
.
Уравнение искомой прямой:
7) Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве
Пусть прямые заданы уравнениями
- точка с координатами
,
- точка с координатами
.
Уравнение плоскости, проходящей через
точку
параллельно векторам
и
.
Расстояние от
первой прямой до второй – это расстояние
от
до построенной плоскости:
8) Расстояние между параллельными плоскостями
Пусть плоскости заданы уравнениями
Пусть точка с
координатами
принадлежит первой плоскости, т.е.
.
Расстояние от первой плоскости до второй
равно расстоянию от точки
до второй плоскости. Оно равно
.
Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
Эллипсом называется
множество точек сумма расстояний от
каждой из которых до точек
и
постоянна. Точки
и
называются фокусами эллипса.
Замечание
Если точки
и
совпадают, то полученная фигура называется
окружностью.
Обозначим
фиксированную сумму через
,
а расстояние между
и
через
.
Если
,
то подходящих под определение точек на
плоскости нет. Если
,
то получается отрезок. Будем считать,
что
.
Введем декартову
систему координат, в которой точка
имеет координаты
,
а точка
координаты
.
Выведем уравнение
эллипса. Пусть
принадлежит эллипсу. Тогда
Проверим, что
каждая точка удовлетворяющая этому
уравнению принадлежит эллипсу. Пусть
точка
удовлетворяет уравнению
Докажем, что точка
принадлежит эллипсу.
Из этого уравнения
имеем
.
Расстояние от точки
до фокуса
равно
Так как
удовлетворяет уравнению
,
то
.
Аналогично получаем расстояние до
фокуса
.
Оно равно
.
Сумма полученных расстояний равна
,
т.е. точка
принадлежит эллипсу. Таким образом
точка
принадлежит эллипсу тогда и только
тогда, когда ее координаты удовлетворяют
уравнению
.
Будем обозначать
.
Тогда уравнение приобретает вид
,
причем
.