![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Теорема 5
Совокупность свободных векторов с введенными ранее операциями сложения и умножения на число является линейно-векторным пространством.
Доказательство
1) Так как операция сложения не зависит от представителей классов равенства, то достаточно проверить на закрепленных векторах.
По свойствам
параллелограмма
.
2) Так как операция сложения не зависит от представителей классов равенства, то достаточно проверить на закрепленных векторах.
Проверяем на
представителях классов равенства. Из
определения суммы получаем
.
3) Нулевой элемент существует по построению. Нулевым вектором является класс закрепленных векторов, у которых начало и конец совпадают.
4) Для каждого
закрепленного вектора существует вектор
ему коллинеарный с противоположным
направлением такой, что
.
Для построения
такого вектора достаточно отложить
точку
на расстоянии от точки
,
равном расстоянию между точками
и
,
но по другую сторону от точки
.
5)
Очевидно из подобия.
6) Векторы
и
коллинеарны и направлены в одну сторону.
Их модули равны соответственно
и
,
т.е. равны друг другу. Значит векторы
равны.
7) Аналогично 6).
8) Аналогично 6).
Определение 15
Линейной комбинацией
векторов
с коэффициентами
называется сумма
.
Определение 16
Если все коэффициенты
в линейной комбинации равны
,
то такая линейная комбинация называется
тривиальной.
Определение 17
Система векторов
называется линейно зависимой, если
найдутся коэффициенты
,
не все одновременно равные
(
)
такие, что
.
Определение 18
Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.
Замечание
Если
- линейно независимы и
,
то
.
Пример 1
Вектор
образует линейно зависимую систему.
Доказательство
Возьмем
,
тогда
.
Не все коэффициенты равны
,
но линейна комбинация равна.
Пример 2
Совокупность векторов, один их которых нулевой образует линейно зависимую систему.
Доказательство
Обозначим векторы
.
Будем считать, что
.
Тогда линейная комбинация
,
но не все коэффициенты равны
.
Теорема 6
Если система
векторов
линейно независимая, то и любая ее
подсистема является линейно независимой.
Доказательство
Без ограничения
общности будем считать, что подсистема
векторов
.
Если
линейно зависимые, то существуют
коэффициенты
,
не все равные
такие, что
.
Тогда линейная комбинация из всех
векторов
тоже равна
.
И в этой линейной комбинации не все
коэффициенты равны
.
Получили, что вся система векторов
линейно зависимая. Противоречие с
условием.
Следствие
Если подсистема
векторов
системы векторов
линейно зависимая, то и система векторов
линейно зависима.
Теорема 7
Два коллинеарных вектора на плоскости или в пространстве линейно зависимы.
Доказательство
Если хотя бы один
из векторов равен
,
то векторы линейно зависимы. Если векторы
и
коллинеарны и не равны
,
то найдется
такое, что
Линейная комбинация
равна
и не все коэффициенты равны
.
Значит
и
линейно зависимы.
Теорема 8
Два вектора на плоскости или в пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда они не коллинеарны.
Доказательство
Если они линейно
независимые, то они не могут быть
коллинеарны по теореме 6. Если два вектора
и
неколлинеарны, то линейная комбинация
этих векторов может обращаться в ноль
только если
.
Если это не так, то найдутся
и
одновременно неравные
такие, что
.
Пусть
.
Тогда
.
Это значит, что они коллинеарны.