![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Определение 57
Уравнение вида
,
где
называется каноническим уравнением
эллипса.
Определение 58
Декартовая система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид называется канонической системой координат.
Свойства эллипса
Пусть есть
каноническое уравнение эллипса
.
Тогда
1) Эллипс имеет две оси симметрии – ось ординат и ось абсцисс.
Доказательство
Пусть
- точка с координатами
принадлежит эллипсу. Тогда точки
удовлетворяют уравнению эллипса
.
Точка
симметрична точке
относительно оси ординат, а точка
симметрична точке
относительно оси абсцисс.
Замечание
Прямая, проходящая через фокусы является главной осью симметрии. Прямая, перпендикулярная отрезку с концами в фокусах и проходящая через его середину тоже является осью симметрии.
Определение 59
Ось симметрии, проходящая через фокусы называется большей главной осью, а перпендикулярная ей ось симметрии – малой главной осью.
Замечание
Большая
главная ось пересекает эллипс в точках,
которые являются концами отрезка длины
.
Малая главная ось пересекает эллипс в
точках, которые являются концами отрезка
длины
.
.
Замечание
Если
,
то главные оси симметрии единственные.
Если
,
то главных осей бесконечно много.
Определение 60
Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса.
2) Точка пересечения
главных осей является центром симметрии
эллипса. В канонической системе координат
точка пересечения главных осей совпадает
с началом координат. Поэтому для точки
эллипса
симметричной является точка
.
Так как
,
то и
,
т.е.
принадлежит эллипсу.
Замечание
Если фигура ограничена, то на может обладать только одним центром симметрии.
3)
В канонической системе координат эллипс
ограничен прямоугольником
Доказательство
В канонической
системе координат уравнение эллипса
,
значит для точек эллипса выполняются
неравенства
4) Рассмотрим
уравнение эллипса в канонической системе
координат:
.
Пусть прямая
проходит через центр симметрии эллипса.
Тогда длина
отрезка, отсекаемого эллипсом на этой
прямой удовлетворяет неравенству
.
Причем левое неравенство превращается
в равенство, только если прямая является
меньшей главной осью, а правое неравенство
превращается в равенство, только если
прямая является большей главной осью.
Пусть точка
принадлежит эллипсу. Тогда расстояние
от точки
до центра симметрии удовлетворяет
неравенству
Равенство слева
достигается только если точка
является вершиной и лежит на меньшей
главной оси, а правое, если точка
является вершиной и лежит на большей
главной оси.
Определение 61
Центром эллипса будем называть центр симметрии эллипса.
Эксцентриситет и директриса
Пусть эллипс задан
в канонической системе координат
уравнением
,
где
.
Имеем
.
Отсюда
.
Определение 62
Эксцентриситетом
эллипса называется величина
.
Легко видеть, что
и если
(т.е. эллипс является окружностью), то
.
Выразим
через
и
.
Рассмотрим прямую,
перпендикулярную большей главной оси,
проходящей через точку
,
где
.
Возьмем точку
на эллипсе, координаты точки
будем обозначать
.
Тогда расстояние от точки
до прямой
равно
.
Расстояние от точки
до фокуса
с координатами
равно
.
Отношение расстояний от точки
до фокуса
и от точки
до
прямой
равно
.
Это отношение постоянно, если
.
Таким образом прямая, перпендикулярная
большей главной оси, отстоящая от центра
эллипса на расстояние
,
лежащая по ту же сторону, что и фокус
обладает тем свойством, что расстояние
от любой точки эллипса до фокуса деленное
на расстояние от этой точки до этой
прямой постоянно и равно
.
Аналогично можно доказать, что отношение
расстояний от точки эллипса до фокуса
и до прямой, перпендикулярной большей
главной оси, проходящей через точку
постоянно и равно
.