![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Преобразование аффинной системы координат на плоскости
Пусть на плоскости
заданы две системы координат
и
.
Для любого вектора
верно равенство
.
Так как
- базис, то существуют числа
,
такие что
.
Если координаты точки
в системе координат
равны
,
а в системе координат
равны
,
то они связаны соотношением
.
Обозначим координаты вектора
в базисе
через
.
Тогда
В
силу единственности координат
Если у нас есть
две декартовые системы координат
и
,
то коэффициенты
могут быть вычислены по формулам:
Пример.
Поворот декартовой
системы координат на угол
(поворот против часовой стрелки).
Тогда
Координаты точки
в системе координат
выражаются через координаты точки в
системе координат
так:
Пример.
Сдвиг системы координат (параллельный перенос).
,
где
- координаты точки
в системе координат
.
Пример.
Отражение системы
координат симметрично оси вектора
.
Общий случай поворота со сдвигом.
Общий случай поворота, с отражением и сдвигом.
Из полученных
формул можно выразить координаты точки
в системе координат
через координаты в системе координат
.
Пусть
Кривые и поверхности на плоскости и в пространстве
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартовая система координат.
Определение 41
Будем говорить,
что уравнение
задает линию
,
если для
с координатами
выполняется равенство
и для
с координатами
выполняется неравенство
.
Определение 42
Будем говорить,
что уравнение
задает поверхность
в пространстве, если для
с координатами
выполняется равенство
и для
с координатами
выполняется неравенство
.
Определение 43
Будем говорить,
что система уравнений
задает линию
в пространстве, если
с координатами
выполняется
и для
с координатами
выполняется
.
Примеры.
(уравнение окружности
на плоскости)
(уравнение сферы в пространстве)
(уравнение цилиндра в пространстве)
(уравнение окружности в пространстве)
Определение 44
Будем говорить,
что линия на плоскости задана
параметрически, если в некоторой
декартовой системе координат координаты
точек
заданы уравнением
.
Определение 45
Будем говорить,
что поверхность в пространстве задана
параметрически, если в некоторой
декартовой системе координат координаты
точек поверхности заданы уравнениями
Примеры.
Окружность радиуса
с центром в начале координат:
Сфера радиуса 3 с
центром в точке
:
Определение 46
Линия на плоскости
называется алгебраической, если в
некоторой декартовой системе координат
она задается алгебраическим уравнением,
т.е. уравнением вида
,
где
Определение 47
Порядком
алгебраической линии на плоскости
называется порядок алгебраического
уравнения задающего данную линию, т.е.
,
где
.
Пример
Линия, задаваемая
уравнением
имеет порядок 3. Линия, задаваемая
уравнением
имеет порядок 2.
Определение 48
Поверхность в
пространстве называется алгебраической,
если в некоторой декартовой системе
координат она задается алгебраическим
уравнением, т.е. уравнением вида
,
где
Определение 48
Порядком
алгебраической поверхности в пространстве
называется порядок алгебраического
уравнения задающего данную поверхность,
т.е.
,
где
.
Теорема 20 (об инвариантности порядка алгебраической линии на плоскости)
Если алгебраическая
линия в одной декартовой системе
координат имеет порядок
,
то и в другой декартовой системе координат
она может быть задана алгебраическим
уравнением порядка
.
Доказательство.
Пусть в первой системе координат линия задается уравнением
,
и пусть координаты в новой системе
координат связаны с исходными
.
Подставляем эти формулы в алгебраическое
уравнение:
После раскрытия
скобок и приведения подобных членов
получим алгебраическое уравнение
порядка
.
Подставляя в полученное уравнение
выражения координат
через
и
получим исходное уравнение порядка
.
Таким образом
.
Замечание.
Алгебраическую
линию в одной и той же системе координат
можно задать различными алгебраическими
уравнениями:
и
.
Теорема 21 (об инвариантности порядка алгебраической поверхности в пространстве)
Если алгебраическая
поверхность имеет в декартовой системе
координат порядок
,
то и в другой декартовой системе координат
данная поверхность может быть задана
алгебраическим уравнением порядка
.
Прямая на плоскости и плоскость в пространстве
Рассмотрим на
плоскости декартову систему координат.
Базисные вектора буем обозначать
и
,
начало координат
.
Координаты точек будем обозначать
и
.
Определение 49
Множеством точек
таких, что вектор
ортогонален вектору
называется прямой, проходящей через
точку
,
ортогональной вектору
.
.
В декартовой
системе координат для точки
с координатами
,
точки
с координатами
и вектора
уравнение прямой можно записать:
Теорема 22
1) Если
- линия на плоскости и в некоторой
декартовой системе координат она
задается уравнением
,
где
,
то
- прямая, ортогональная вектору
.
2)
Любая прямая может быть задана в
декартовой системе координат уравнением
вида
,
где
.
Доказательство.
1) Пусть прямая
задана уравнением
,
.
Будем считать, что
.
Рассмотрим точку
с координатами
.
Тогда для всех точек
с координатами
,
удовлетворяющих уравнению
выполняется
,
где
.
2) См. Вывод уравнения прямой, ортогональной заданному вектору.