![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Парабола Определение 69
Параболой называется
множество точек плоскости, для которых
расстояния до фиксированной точки
и до фиксированной прямой
равны. Точка
называется фокусом параболы, а прямая
- директрисой параболы.
Замечание
Если точка
принадлежит прямой
,
то множество таких точек – прямая,
перпендикулярная
и проходящая через
.
Поэтому будем считать, что
.
Выберем систему координат:
Расстояние
от
до
равно
.
Расстояние от
до фокуса
равно
.
Так как
,
то
Проверим, что
каждая точка
удовлетворяющая уравнению
принадлежит этой параболе. Расстояние
от точки
до
равно
.
Расстояние от
точки
до прямой
равно
.
Эти расстояния равны, значит точка
принадлежит параболе.
Определение 70
Уравнение вида
(
)
называется каноническим уравнением
параболы.
Определение 71
Система координат, в которой парабола имеет каноническое уравнение, называется канонической системой координат.
Свойства параболы
1) Парабола имеет одну ось симметрии. Точка пересечения этой оси с параболой называется вершиной параболы.
2) Парабола не имеет центра симметрии.
Определение 72
Для параболы эксцентриситет полагают равным 1.
Полярное уравнение параболы.
Поместим начало
координат в фокус параболы
.
Тогда расстояние до фокуса равно
,
а расстояние до директрисы равно
.
Эти два расстояния равны, т.е.
Теорема 24
Пусть на плоскости
заданы прямая
и точка
.
Тогда множество точек, для которых
отношение расстояний до точки
и до прямой
равно
является
1) эллипсом при
;
2)
гиперболой, при
;
3)
параболой, при
.
Исследование уравнений второго порядка
Определение 73
Линией второго порядка называется линия, задаваемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:
,
где
.
Пусть в некоторой
декартовой системе координат линия
задана уравнением
.
Найдем систему координат, в которой
линия задается более простым уравнением.
Для этого будем рассматривать переходы
от одной системы координат к другой
следующего вида:
Поворот на угол
:
,
- координаты в новом базисе.
Перенос начала системы координат:
Посмотрим как меняется уравнение при повороте:
Выберем угол
поворота так, чтобы
.
Если
,
то
,
Если
,
то
,
т.е.
.
Далее можно найти
и
(
).
При выбранном
уравнение имеет вид
Перейдем к следующей системе координат посредством сдвига:
1 Случай
(т.е.
и
)
Если
(
),
то
Так как
и
,
то обозначим
,
а
.
Получим уравнение
вида
.
Это уравнение эллипса.
Если мы хотим
получить каноническое уравнение эллипса,
то требуется, чтобы коэффициент при
был меньше, чем при
.
При
можно сделать поворот системы координат
на
и получить каноническое уравнение
эллипса.
Если
,
то
,
где
и
.
Точек плоскости, удовлетворяющих этому уравнению, не существует. Говорят, что данное уравнение описывает мнимый эллипс.
Если
и
,
то
Этому уравнению
удовлетворяет одна точка с координатами
и
.
Говорят, что данное уравнение описывает
вырожденный эллипс.
Если
и
,
то
,
где
либо
и
,
либо
и
.
Если
и
,
то, обозначив
и
,
получим уравнение
.
Это каноническое уравнение гиперболы.
Если
и
,
то обозначим
и
.
Получим уравнение
.
Перейдем к новой системе координат
посредством поворота на угол
.
Получим уравнение
.
Это тоже каноническое уравнение
гиперболы.
Если
и
,
то уравнение имеет вид
.
Обозначим
,
.
Тогда
Уравнение описывает пару пересекающихся прямых
и
.
Точка пересечения прямых
.