![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Определение 50
Уравнения первого порядка будем называть линейными уравнениями.
Различные способы задания прямой на плоскости
1) Любая прямая на
плоскости задается уравнением вида
,
где вектор с координатами
является ортогональным к этой прямой.
Это уравнение называется общим уравнением
прямой на плоскости.
Если
и
задают одну и ту же прямую, то
.
2) Уравнение прямой,
проходящий через точку
,
ортогональной вектору
:
.
3) Уравнение в
отрезках. Если прямая задается полным
уравнением, т.е.
и
и
,
то
эквивалентно
или
.
4) Нормированное
уравнение.
Вектор
с координатами
имеет единичную длину. Обозначим
,
где
и
- направляющие косинусы.
Получим
,
где
.
Если обозначить
,
а
,
где
- угол между векторами
и
,
получим
.
5) Каноническое
уравнение. Пусть дано уравнение прямой
,
.
Вектор с координатами
ортогонален прямой. Вектор с координатами
ортогонален вектору с координатами
(так как
).
Таким образом вектор с координатами
является параллельным нашей прямой.
Поэтому вектора с координатами
и
коллинеарны. По свойствам коллинеарных
векторов
.
Получим: если вектор
является параллельным прямой, то
уравнение прямой
.
6) Уравнение прямой,
проходящей через две точки. Требуется
написать уравнение прямой, проходящей
через точки
и
.
Вектор с координатами
параллелен прямой. Поэтому уравнение
прямой
.
7) Параметрическое
задание прямой. Пусть вектор с координатами
параллелен прямой, проходящей через
точку
.
Тогда для любой точки
этой прямой с координатами
вектор
коллинеарен вектору
:
.
Получаем
Задачи
1) Нахождение угла между прямыми
Пусть в декартовой
системе координат две прямые заданы
уравнениями
и
.
Если
,
то эти прямые совпадают. Если
,
то эти прямые не имеют общих точек, т.е.
параллельны. Пусть
.
Тогда прямые пересекаются. Так как
вектор
параллелен прямой
и вектор
параллелен прямой
,
то угол между векторам
и
совпадает с углом между векторами
и
,
т.е. угол между прямыми совпадает с углом
между перпендикулярными прямыми. Угол
между перпендикулярами может быть
найден по формуле
,
либо
2) Расстояние от точки до прямой
Пусть задано
уравнение прямой
и точка
.
Нормируем уравнение прямой:
и пусть точка
принадлежит прямой. Нормальный вектор
к прямой
,
причем
.
Угол между вектором
и
обозначим через
.
Тогда расстояние от точки
до прямой равно
Замечание
Если точка
лежит по ту же сторону от прямой, куда
направлен вектор
,
то угол
- острый и величина
.
Если точка
лежит по другую сторону от прямой, то
угол
- тупой и величина
.
Задача
Построение биссектрисы угла между прямыми
Пусть даны уравнения
прямых
По
последнему замечанию для всех точек по
одну сторону от первой прямой выражение
имеет положительные значения, а по
другую отрицательные. Аналогично для
второй прямой. Поэтому произведение
величин
и
сохраняет знак в вертикальных углах.
Биссектриса угла обладает тем свойством,
что каждая точка на биссектрисе
равноудалена от прямых. Поэтому уравнения
биссектрис
Переносим в левую сторону, и получаем
Плоскость в пространстве Определение 51
Плоскостью
,
проходящей через точку
,
ортогональной вектору
называется множество точек
таких, что
ортогонален
,
т.е.
.
Если вектор
имеет координаты
,
точка
имеет координаты
,
то для точки
с координатами
получаем уравнение принадлежности
плоскости
или
,
где
.