Определение 65

Уравнение вида , где называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола имеет каноническое уравнение называется канонической системой координат.

Свойства гиперболы

Пусть в канонической системе координат гипербола имеет уравнение .

1) Гипербола обладает двумя осями симметрии (главные оси). Одна ось симметрии – ось , другая – ось . Одна из осей симметрии – фокальная ось (ось, проходящая через фокусы).

2) Точка пересечения осей симметрии является точкой симметрии гиперболы.

3) Из уравнения получаем, что в полосе точек гиперболы нет.

4) Из уравнения следует, что , т.е. . Значит гипербола лежит между прямыми и , как показано на рисунке:

Определение 66

Точки пересечения фокальной оси с гиперболой называются вершинами гиперболы.

Прямые и являются асимптотами гиперболы.

Рассмотрим прямую и часть гиперболы , где . Тогда для прямой , для гиперболы

Аналогично для остальных частей гиперболы () и прямой .

Определение 67

Число называется эксцентриситетом гиперболы. Так как , то .

Рассмотрим прямую , где Расстояние от точки до этой прямой равно . Расстояние от точки до фокуса равно и до точек гиперболы . Отношение расстояния от точки гиперболы до фокуса и до прямой равно . Это отношение постоянно, когда . Таким образом отношение расстояний от точек гиперболы до фокуса и от точек гиперболы до прямой постоянно и равно .

Определение 68

Прямая, перпендикулярная фокальной оси, пересекающая отрезок между фокусами и , отстоящая от фокуса на расстояние называется директрисой гиперболы для фокуса . Директриса фокуса в канонической системе координат имеет уравнение . Директриса фокуса в канонической системе координат имеет уравнение .

Проверим, что точка, для которой отношение расстояний до фокуса и до директрисы этого фокуса равно принадлежит гиперболе.

Пусть точка имеет координаты . Расстояние до фокуса равно . Расстояние до директрисы равно . Так как , то

Получили, что точка принадлежит гиперболе. Аналогично доказывается для второго фокуса.

Пусть задана прямая , точка и . Тогда найдется гипербола, для которой точка является фокусом, а прямая директрисой относительно этого фокуса, является эксцентриситетом гиперболы. Построим гиперболу. Для этого выберем систему координат. Ось проведем через перпендикулярно прямой . Точку пересечения оси и прямой обозначим через . Возьмем точку на отрезке так, чтобы и точку на оси такую, что . Точка лежит по другую сторону от , чем точка . Выберем началом системы координат середину отрезка . Обозначим начало координат . Очевидно, что точка лежит по одну сторону от прямой , что и точка (так как ). Обозначим , . Направление оси выберем так, чтобы точка имели координаты .

Получили, что или . Найдем :

Получили, что уравнение прямой имеет вид . Для гиперболы точка является фокусом, а прямая является директрисой, соответствующей этому фокусу.

Полярное уравнение гиперболы

Пусть в канонической системе координат уравнение гиперболы . Введем систему координат так: началом системы координат является точка , а полярной осью является ось , где . Тогда для правой ветви гиперболы имеем: если точка принадлежит правой ветви гиперболы, то расстояние от до директрисы равно расстоянию от фокуса до директрисы плюс . Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через . Тогда

Если принадлежит левой ветви гиперболы, то расстояние от точки до директрисы равно .