Определение 63

Директрисой эллипса, отвечающей фокусу , называется прямая, перпендикулярная большей главной оси такая, что отношение расстояний от точек эллипса до фокуса и до этой прямой постоянно и равно .

Замечание

Если эллипса является окружностью, то директрис нет.

Замечание

Если эллипс не является окружностью, то для каждого эллипса существует единственная директриса.

Замечание

У эллипса, не являющегося окружностью, существует две директрисы.

Замечание

Из выведенных уравнений директрис видно, что директрисы не пересекают эллипс.

Если уравнение эллипса в канонической системе координат , то уравнения директрис .

Докажем, что если отношение расстояний от точки до фокуса и его директрисы равно , то точка принадлежит эллипсу.

Для доказательства рассмотрим фокус . Расстояние от до равно , где - координаты точки . Расстояние от до директрисы равно . Так как отношение , то

То есть точка принадлежит эллипсу. Обозначим расстояние от фокуса эллипса до его директрисы через . Тогда

Пусть на плоскости задана прямая и точка. Тогда найдется эллипс, для которого указанная точка будет фокусом, а указанная прямая будет директрисой, соответствующей этому фокусу.

Выберем систему координат так: ось проходит через данную нам точку и перпендикулярно данной прямой. Точку пересечения оси с данной прямой обозначим через . Отметим на оси две точки и такие, что и и точка лежит между точками и . Середину отрезка обозначим через является началом координат.

Заметим, что точка лежит между точками и , так как

Длина . Длина . Найдем длину

. Обозначим . Для эллипса, заданного уравнением . Точка совпадает с фокусом, а заданная прямая совпадает с директрисой этого фокуса, т.к. уравнение этой прямой .

Уравнение эллипса в полярных координатах

Пусть эллипс задан каноническим уравнением .

- фокус с координатами , его директриса – прямая, заданная уравнением , точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда , где , - расстояние от точки до прямой . Выберем полярную ось через точки и . Тогда расстояние от точки до начала полярной системы координат . Вектор составляет угол с полярной осью. Расстояние от точки до директрисы равно , где - расстояние от фокуса до директрисы. Точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда .

Гипербола Определение 64

Гиперболой называется множество точек плоскости таких, что абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, постоянна. Обозначим указанную разность через, а расстояние между фокусами через .

Замечание

Если и совпадают и , то точек, удовлетворяющих такому условию на плоскости нет. Если и совпадают и , то любая точка плоскости удовлетворяет указанному условию. Поэтому будем считать, что фокусы и являются разными точками.

Замечание

Обозначим расстояние от точки до через , а расстояние от до через . Так как и , то

Введем систему координат следующим образом: ось проведем через фокусы и , начало координат возьмем в центре отрезка . Ось проведем перпендикулярно оси через начало координат. Тогда координаты точки , точки . Пусть координаты . Тогда . принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда

Обозначим величину , . Тогда уравнение примет вид . Проверим, что каждая точка, удовлетворяющая уравнению принадлежит гиперболе. Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению . Тогда . Расстояние от до равно

Так как из уравнения следует, что либо либо , то

Расстояние от до равно

. Получили, что принадлежит гиперболе.