Занятие № 2

1. Вычислить следующие выражения.

а) , =;

б) rot , =const;

в) div rot ;

г) div , =const;

д) rot , =const;

е) div;

ж) rot;

з) div , =const;

и) grad;

к) rot rot ;

л) rot rot rot;

м) grad div;

н) rot rot;

о) grad div;

п) div grad;

Занятие № 3

1. Доказать тождество:

2. Найти выражение для

а).

б).

3. Точка массы m движется под действием притягивающей силы -. Найти уравнение движения.

4. Найти векторные линии для векторного поля

а). , б). , где = const

5. Вычислить

1. Занятие № 4

1. Доказать, что

2. Чему равняется интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V

, где - радиус – вектор, - постоянный вектор, - вектор внешней нормали.

3. Найти значение интеграла:

4. Доказать, что

4. Доказать следующие формулы

10. Занятие № 5

1. Вычислить rot.

2. Вычислить rot.

3. Представить , где =const в виде вихря некоторого вектора.

4. Вычислить .

5. Доказать следующие формулы

;

, где - единичный вектор нормали в точках поверхности S, опирающейся на контур С.

6. Доказать формулу

.

11. Занятие № 6

1. Для функционалов найти уравнение Эйлера - Лагранжа

а).

б).

в).

г).

2. Найти кривую, вдоль которой частица будет скатываться наиболее быстро из заданной точки на заданную кривую.

3. Найти уравнения Эйлера - Лагранжа

1. Занятие№ 7

1. Показать, что уравнение Штурма – Лиувилля

;

является уравнением Эйлера – Лагранжа для функционала

;

2. Оценить наинизшее собственное значение  уравнения

а) ;

б) .

Занятие № 8

1. Выразить cos(nx) и sin(nx) через степени sin(x) и cos(x), пользуясь формулой Муавра.

2. Представить в комплексной форме .

3. Где лежат точки z, для которых:

а) ;

б) >2;

в) Re z;

г) ;

д) ;

е) .

4. Проверить тождество ;

5. Вычислить

a);

б) ;

в) ;

г) .

12. Занятие № 9

1. Установить выполняемость условий Коши - Римана для функций

2. Написать условия Коши - Римана в полярных координатах.

3. Найти модуль и главное значение аргумента следующего комплексного числа

4. Найти область аналитичности функции

4. Если функция в каждой точке области удовлетворяет условию , доказать, что есть постоянное в этой области.

4. Показать, что функция , где , есть аналитическая всюду, кроме нулевой точки.

2. Занятие № 10

1. Вычислить интегралы:

; ;

; ; ;

;