19. Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.

1. Эллипсом  называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

2) Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a

Т.к. То получаем Или

21. Гипербола. Вывод канонического уравнения гиперболы.

1)Гиперболой  называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

2) Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂ =±2a,

22. Исследование формы гиперболы по его каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы.

1. Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.

  1. Уравнение (11.9) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0;0), которую называют центром гиперболы.

 2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox:   и . Положив х = 0 в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.    Точки  и  называются вершинами гиперболы, а отрезок  — действительной осью, отрезок -действительной полуосью гиперболы.   Отрезок , соединяющий точки  и  называется мнимой осью, число b — мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь называется основным прямоугольником гипер­болы. .

 3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое  не меньше единицы, т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой х = —а (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда  возрастает, то и \у\ воз­растает. Это следует из того,что разность  сохраняет постоянное значение, равное единице. Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 32 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

2) Асимптоты гиперболы имеют уравнения . Эти прямые не пересекают гиперболу

23. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы. Исследование формы параболы.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

Пусть M(x;y) – произвольная точка M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению MF=MN.

• парабола проходит через начало координат, т.к. координаты начала координат удовлетворяют уравнению параболы.

• парабола симметрична относительно оси ОХ, т.к. точки с координатами (x, y) и (x, − y) удовлетворяют уравнению параболы.

• если р > 0, то ветви параболы направлены вправо и парабола находится в правой полуплоскости, p<0 то в левой.