1. Матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число. Свойства операций сложения и умножения на число.

1)Матрицы размера m*n называют прямоугольные таблицы чисел, содержащие m строк и n столбцов. A=||a ij||. Если m=n то эты матрица называется квадратной порядка m. Матрица А равняется матрице B если эти матрицы одинковые по размеру и соответствующие элементы матрицы равны.

2)Пусть A и B матрицы одинаковых размеров, тогда матрица С называется суммой этих матриц. (Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах) Матрица все элементы которой нули называется нулевой матрицей размером m*n. Матрица D все элементы которой равны произведению элементов a ij на число к называется произведением матрицы а на число к.(Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.)

3) 1)A+B=B+A. 2) (A+B)+C=A+(B+C)= A+B+C. 3) A+0=A 4) 7) A+(-A)=0 (k+t)A=kA+tA 5)k(tA)=(kt)A=ktA 6), k(A+B)=kA+kB (-1)A=-A .

2. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц. Транспонирование матриц. Свойства операций транспонирования.

1)Произведением матрицы А размерности m _*p и матрицы В размерности  называется матрица С  размерности , каждый элемент которой  определяется формулой:  Таким образом, элемент  представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

 Пример. . При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет  Найдем элементы матрицы С:  Итак,

2) Свойства: 1) АВ=ВА-матрицы коммуникативные (перестановочные). Е= - квадратная матрица порядка n называется единичной матрицей. АЕ=ЕА=А – частный случай, когда А-квадратная матрица порядка n. 2) (АВ)С=А(ВС)=АВС 3) А(В+С)=АВ+АС 4) (аА)В=а( АВ)=аАВ

3) Транспонированная матрица — матрица A^T, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы. Например,

Операция перехода матрицы А к матрице A^T называется транспоированием. Если матрица А была размером m*n, то А будет n*m.

1. Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А. 2. Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. 3. Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц 4. При транспонировании можно выносить скаляр. 5. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

3. Определители. Вычисление определителей.

1)Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.(детерминантом)  Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент. Обозначение:  выбранный элемент определителя, его минор. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

2) 1.n=1 2. Определитель суммы порядка n равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение.     где i=1,2,3.

3. Величина определителей второго порядка равняется разности произведений элементов стоящих на главной диагонали и произведение элементов на побочной диагонали.        . 4.Величина третьего порядка определителей равняется сумме произведений элементов стоящих на главной диагонали и треугольников основания которых параллельны главной диагонали и суммы произведения элементов взятых со своим знаком, и элементов стоящих на побочной диагонали и треугольников основания которых параллельны на побочной диагонали взятые с противоположным знаком

7. Решение систем линейных уравнений методом полного исключения. Преобразования Жордана-Гаусса.

Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы.

2. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

3. Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

4. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

5. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

6. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

7. После повторения этой процедуры n − 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу

8. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

9. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

10. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

6. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Пример. Система линейных уравнений: Определители:

Решение:

4. Основные свойства определителей

1.При транспонировании матрицы величина определителей не меняется. (Величина определителя равна сумме произведений элементов первого столбца на их алгебраическое дополнение). 2. Если в матрице поменять местами две какие нибудь строки (столбца), то при этом величина определителя изменит знак на противоположный.   сл.1. Если матрица содержит два одинаковых столбца (строки), то ее определитель равен 0.  (Величина определителя равна сумме произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.) Сл.2. Если матрица содержит строку (столбец) состоящий из нулей, то определитель этой матрицы равен 0.     3. Сумма произведений элементов какой либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна 0. 4. Если каждый элемент строки (столбца) является суммой двух слагаемых, то ее определитель равен сумме двух определителей, в которой соответствующая строка состоит из первого и второго слагаемого. 5.Если элементы третьей строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженное на одно и тоже число, то при этом величина определителя не изменяется.          

9. Понятие вектора. Линейные операции над векторами, их свойства. Теорема о коллинеарных векторах.

1)Направленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Если начало вектора — точка А, а его конец — точка В, то вектор обозначается или

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается обычно символом .

2) Сложение векторов. Суммой векторов а и в называется вектор из начала а в конец в при условии что начало а и конец в совпадают (а+в=с). Свойства операции сложения: 1. 2. 3. ka+0= a 4. ka + (-a) = 0 5. a – b = a + (-b)

Произведение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор, , длина которого равна, , причем векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при k < 0. Свойства операции умножения: 1. k ( a + b) = ka + kb 2. (k+m) a = ka + ma 3. k (ma) = (km) a = km a

3) Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой (или на параллельных прямых). Теорема: Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов и существует такое число λ, что

8. Решение системы линейных уравнений в матричной форме.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем. Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем): Тогда её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно: Умножим это матричное уравнение слева на A ^{− 1} — матрицу, обратную к матрице A:

Так как A ^{− 1}A = E, получаем X = A ^{− 1}B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:.

5. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.

1) Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .Пусть А- квадратная матрица порядка n. А называют обратной матрице А если выполняются равенства: АА = А А= Е Теорема: Каждая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и при том только одну. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

2) C^T — транспонированная матрица алгебраических дополнений; Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

3) Свойства обратной матрицы: 1. 2. для любых двух обратимых матриц A и B. 3. 4.