18. Угол между плоскостями. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

1)                        

2) .

3)

20. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом

  1.Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэто­му если точка  (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х;-y), (-х; у), (х; -у). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки O(0; 0), которую называют центром эллипса.

  2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у = 0, находим две точки  и , в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 28). Положив в уравнении (11.7) x = 0, находим точки пе­ресечения эллипса с осью Оу;  и. Точки, на­зываются вершинами эллипса. Отрез­ки и, а также их длины 2а и 2Ь называются соответственно боль­шой и малой осями эллипса. Числа а и b называются  соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса. 

 3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место  неравенства  и или  и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±а, у = ±b.

 4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых иравна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если  возрастает, то уменьшается и наоборот. Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 28 (овальная замкнутая кривая).

 5. Форма эллипса зависит от отношения . При b=a эллипс превраща­ется в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

17. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки пространства. Параметрические уравнения прямой.

1)                   каноническими уравнениями  прямой в пространстве.

  2)          -          уравнения прямой, проходящей через две данные точки

3) параметрические уравнения прямой:             .                        

16. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Исследование общего уравнения плоскости.

1)    A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0. - уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

2) - общим уравнением плоскости

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат. 2)       А = 0 – n = {0,B,C} Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох. 3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу. 4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz. 5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу). 6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz. 7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz. 8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох. 9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу. 10)    C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz. 11)    A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху. 12)    A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz. 13)    B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду        называемому уравнением плоскости в отрезках