10.Проекция вектора на ось. Основные свойства проекции. Угол между векторами. Угол вектора с осью. Понятие базиса векторного пространства.

1)Проекцией  вектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А^/В^/ оси l, где А^/ и В^/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось l. Обозначение:   пр_uа.

2) Свойства проекции: 1.   Пр_ua = |a| cosφ, где φ – угол между а и осью u. 2.  При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются. 3.   При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.

3) Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.  (Углом между векторами называется наименьший угол на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым.)       Обозначение.

4)  Углом между вектором и осью называется угол между данным вектором и любым правоориентированным вектором этой оси. ( Под углом между вектором и осью понимают угол между вектором и единичным вектором того же направления, что и ось)

5) Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе: если a, b, c – базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.

11. Действия над векторами, заданными своими координатами. Модуль вектора. Направляющие косинусы вектора. Координаты произвольного вектора в декартовой системе координат.

1) : 1. Сложение: При сложении векторов их соответстветственные координаты складываются. 2. Вычитание: При вычитании векторов их соответстветственные координаты вычитаются. 3. Умножение: При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

2)Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом или а. Если , то вектор называется единичным.

3)Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами. Свойства направляющих косинусов:

1.        X = |d| cosα,  Y = |d| cosβ,  Z = |d| cosγ. 2.        , , 3.        cos²α + cos²β + cos²γ = 1.

4)  Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.  Точка  носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая -- осью абсцисс, вторая -- осью ординат, третья -- осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями. (Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.)

12. Скалярное произведение двух векторов, свойства скалярного произведения. Условия ортогональности и коллениарности двух векторов.

1)Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ). Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой   Свойства скалярного произведения:

2) Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. ( Если векторы перпендикулярны , то угол между ними равен 90⁰ и скалярное произведение этих векторов равно нулю: ) Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. (достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству .)

15. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

1)Если прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями А₁х + В₁у + С₁ = 0   и  А₂х + В₂у + С₂ = 0, то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A₁,B₁} и {A₂,B₂}. Следовательно,      

2) Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:    - условие параллельности,    - условие перпендикулярности.   

13. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Исследование общего уравнения прямой.

1)Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

2) Пусть дана точка М₀(x₀, y₀) и некоторый вектор N (A, B). Составим уравнение прямой линии, проходящей через данную точку и перпендикулярной заданному вектору. Для этого выберем произвольную точку М(x, y) на прямой. Тогда вектор будет перпендикулярен вектору N (A, B). Записывая признак перпендикулярности векторов в координатной форме, получим A·( x - x₀ ) + B·( y - y₀ ) = 0.

3) В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: •  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат •  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох •  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу •  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу •  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

14. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно данному вектору. Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки. Параметрические уравнения прямой.

1)      , уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀,y₀) параллельно вектору q = {l,m}

2) Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

3) Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:   ,   ,   где  – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,  – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.