Київський національний університет імені Тараса Шевченка

ЗАТВЕРДЖУЮ

Декан факультету кібернетики

_____________ Анісімов А.В.

"____"_______________2010 р.

Програма спеціального курсу "Аналіз та оцінка програмних траєкторій в керованих системах" (спеціальність – „прикладна математика”,4 курс,7-8 семестри, 51 год. Лекцій) . Мета курсу

Мета курсу полягає у вивченні основ аналізу та оцінки програмних траєкторій в керованих системах . Це, перш за все, стосується динамічних математичних моделей, які описують різноманітні процеси у формі систем звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь з частинними похідними та параметричних систем. У курсі будуть розглядатися питання аналізу стійкості та чутливості розрахункових режимів конкретних динамічних об‘єктів, поведінка яких описується системами вказаних рівнянь.

В спецкурсі на строгому математичному рівні ставляться задачі аналізу чутливості та стійкості збурених режимів функціонування системи відносно розрахункових режимів. Доводяться теореми про стійкість, асимптотичну стійкість, стійкість при постійно діючих збуреннях для автономних та неавтономних систем. Подібні твердження приводяться і для аналізу стійкості по одній та двох мірах систем з розподіленими параметрами, параметричних систем.

З іншої сторони, на основі теоретичних викладок, досліджується ряд задач, які мають прикладний характер. Особлива увага надається розгляду чисельних алгоритмів аналізу стійкості та чутливості, отриманню оптимальних оцінок.

Взаємозв»язок курсів

Для усвоєння курсу необхідно знати відомості з математичного та функціонального аналізу , алгебри, математичного моделювання, теорій керування та оптимізації. Це перш за все, розділи з диференціального та інтегрального числення - з курсу математичного аналізу, теорії матриць, теорії лінійних просторів та аналізу квадратичних форм- з курсу алгебри, принципи Беллмана та Понтрягіна – з теорії керування, а також необхідні знання основ теорії оптимізації . Для успішного вивчення курсу необхідні також знання основ функціонального аналізу- поняття функціоналу, основні властивості лінійних функціоналів тощо.

Технічна підтримка курсу

Для успішного читання курсу необхідна технічна підтримка у вигляді комп‘ютерних проекторів та обладнання для проведення презентацій, кодоскоп та сканер.

Блок 1.Основи теорії стійкості. Розв’язування прикладних задач.

Лекція 1. Математичне моделювання і проблеми теорії стійкості. Математичне моделювання як метод дослідження процесів шляхом побудови математичних моделей. Математичне моделювання і аналіз та оцінка розрахункових процесів.

Лекція 2. Приклади і постановки задач теорії стійкості. Приклади механічних систем, які досліджуються на стійкість. Основні поняття і означення стійкості, їх геометрична інтерпретація.

Лекція 3. Функції Ляпунова. Перший і другий методи Ляпунова, їх аналіз. Функції Ляпунова, їх властивості. Геометрична інтерпретація умов стійкості.

Лекція 4. Аналіз стійкості руху автономних систем. Теореми Ляпунова про стійкість і асимптотичну стійкість. Теореми М.М.Красовського і Барбашина-Красовського про асимптотичну стійкість і асимптотичну стійкість в цілому.

Лекція 5. Теореми про нестійкість для автономних систем. Теорема Четаєва про нестійкість, її геометрична інтерпретація. Перша і друга теореми Ляпунова про нестійкість. Теорема М.М.Красовського про нестійкість.

Лекція 6. Дослідження стійкості неавтономних систем. Функції Ляпунова для неавтономних систем. Теореми Ляпунова про стійкість та асимптотичну стійкість. Теореми Четаєва та Ляпунова про нестійкість.

Лекція 7. Аналіз стійкості за постійно діючими збуреннями. Основні поняття і означення. Доведення основних теорем про стійкість за постійно діючими збуреннями. Достатні умови стійкості лінійних систем при постійно діючих збуреннях.

Лекція 8. Дослідження стійкості за першим наближенням. Рівняння першого наближення для автономних систем. Аналіз стійкості за першим наближенням автономних систем. Дослідження стійкості за першим наближенням неавтономних систем.

Лекція 9. Аналіз стійкості за частиною змінних. Постановка задач і основні означення. Теореми Ляпунова про стійкість і асимптотичну стійкість. Приклади.

Лекція 10. Використання функцій Ляпунова для розв'язування деяких прикладних задач. Побудова функцій Ляпунова у вигляді квадратичних форм для лінійних стаціонарних систем. Співвідношення Релея. Оцінка часу регулювання перехідного процесу за допомогою функцій Ляпунова.

Лекція 11. Чисельні методи побудови функцій Ляпунова для лінійних стаціонарних систем. Загальний підхід. Обчислення невласного інтегралу. Інтегрування матричного диференціального рівняння.

Лекція 12. Чисельні методи побудови функції Ляпунова для нестаціонарних лінійних і нелінійних систем. Побудова функцій Ляпунова для нестаціонарних лінійних систем. Деякі методи побудови функцій Ляпунова для нелінійних систем. Приклади.

Лекція 13. Використання методів стійкості до обґрунтування збіжності чисельних ітераційних процедур. Аналіз збіжності ітераційних градієнтних процедур для задач мінімізації функції багатьох змінних. Обґрунтування збіжності чисельних алгоритмів розв'язування деяких мінімаксних задач. Теореми про збіжність. Приклади.

Лекція 14. Адаптивні методи ідентифікації і керування, основані на другому методі Ляпунова. Адаптивна настройка (ідентифікація) в лінійних системах. Адаптивний контроль в лінійних системах.