- •Часть 1. Методологические аспекты моделирования
- •Часть 3. О методике построения математических моделей
- •Часть 4. Экспертиза в системном анализе
- •Объект и предмет исследования
- •Часть 1. Методологические аспекты моделирования
- •Понятие моделирования
- •1.2. Обобщенный процесс моделирования
- •1.3. Математические модели
- •Часть 2. Элементы теории систем
- •2.1. Система и ее компоненты
- •2.2. Строение системы
- •2.2.1. Связи в системе
- •2.2.2. Структура системы
- •2.2.3. Пространственные и временные связи
- •2.2.4. Описание системы
- •2.3. Классификация систем
- •2.3.1. Понятие классификации
- •2.3.2. Основные методы классификации
- •Иерархическая схема классификации.
- •Классификация систем по степени структурированности.
- •2.4. Системные принципы
- •2.4. Основы системного анализа
- •2.4.1. Понятие системного анализа
- •2.4.2. Этап постановки проблемы
- •2.4.3. Содержание системного анализа
- •Часть 3. О методике построения математических моделей
- •3.1. Анализ задачи
- •3.2. Этап формирования математической модели
- •3.3. Классификация математических моделей
- •3.4. Модель черного ящика
- •3.5.Теоретико-множественная модель
- •3.6. Типовые математические схемы
- •Непрерывно-детерминированные модели (d - схемы).
- •3.7. Пример построения динамической модели
- •3.8. Метод статистических испытаний (метод Монте – Карло)
- •3.9. Имитационное моделирование
- •3.10.1. Понятие нечеткого множества
- •3.10. Операции над нечеткими множествами.
- •3.10.3. Нечеткие отношения
- •3.10.4. Нечеткие и лингвистические переменные.
- •3.10.5. О построении функций принадлежности
- •3.10.6. Элементы нечетких алгоритмов
- •Стандартные графики функции принадлежности
- •Часть 4. Экспертиза в системном анализе
- •4.1. Методы проведения экспертизы в системном анализе
- •4.1.1. Основные задачи экспертизы в системном анализе
- •4.1.2. Методы коллективной генерации идей
- •4.1.3. Структуризация систем
- •4.1.4. Морфологические методы
- •4.2. Измерение
- •4.2.1. Понятие измерения
- •4.2.2. Шкалы измерений числовых показателей.
- •4.2.3. Шкала измерений нечисловых показателей
- •4.2.4. Сравнительный анализ шкал
- •4.3. Обработка экспертных измерений
- •2.4.1. Ранжировка и оценка в баллах
- •2.4.2. Исследование зависимости показателей качества, измеряемых в нечисловых шкалах
- •4.4.3. Оценка степени согласованности порядковых показателей
- •4.4.4. Проверка степени несогласованности и безразличия экспертов
- •Заключение
- •Библиография
- •Живицкая е.Н., о.П. Едемская. Системный анализ и проектирование информационных систем: Учебно-метод. Пособие. / Мн.: бгуир, 2005.
3.10. Операции над нечеткими множествами.
1. Дополнение. Пусть нечеткие множества A и B имеют единое базовое множество E. Нечеткое множество B является дополнением нечеткого множества A, (записывается B = A), если
x E: B(x) = 1 - A(x).
Например, если
A = {(x10.2), (x20.7), (x31), (x40.4), (x50)},
то
A = {(x10.8), (x20.3), (x30), (x40.6), (x51)}.
2. Объединение. Объединением двух нечетких множеств A и B, заданных на одном и том же базовом множестве E называется нечеткое множество C = A B, содержащее и A и B, причем функция принадлежности определяется по правилу
х E: C(х) = max(A(х),B(х))
Пример 2. Пусть A = {(x10.4), (x20.7), (x30.9)} и B = {(x10.5), (x20.3), (x31)}.
Тогда C = A B = {(x10.5), (x20.7), (x31)}.
3. Пересечение. Пересечением двух нечетких множеств A и B, заданных на одном и том же базовом множестве E называется нечеткое множество D = A B, содержащие и A и B, причем функция принадлежности определяется по правилу
x E: D(x) = min(A(x),B(x)).
Для нечетких множеств из примера 2 имеем
D = A B = {(x10.4), (x20.3), (x30.9)}
Наглядное представление операций объединения и пересечения двух нечетких множеств заданных на непрерывном подмножестве дают схемы, родственные диаграммам Вьенна - Эйлера, которые представлены на рис. 3.10. Границы штрихованных областей изображают графики функций принадлежности соответствующих нечетких множеств.
Рис.
3.10. Иллюстрация операций объединения
и пересечения нечетких множеств.
4. Произведение. Произведением двух нечетких множеств A B, заданных на одном и том же базовом множестве E называется такое нечеткое множество
F = AּB, функция принадлежности которого определяется по правилу
x E: F(x) = A(x)ּB(x)
Для нечетких множеств из примера 2 имеем
F = AּB = {(x10.2), (x20.21), (x30.90}
5. Сумма. Суммой двух нечетких множеств A и B, заданных на одном и том же базовом множестве E называется нечеткое множество H = A + B, содержащие множества A и B, причем функция принадлежности определяется по правилу
х E: H(х) = A(х) + B(х) - A(х)ּB(х)
Для нечетких множеств из примера 2 имеем
H = A + B = {(x10.7), (x20.79), (x31)}.
Замечание. Операции умножения и суммирования нечетких множеств употребляются значительно реже, чем операции пересечения и объединения, поскольку для них не выполняются некоторые свойства, в том числе и такое, как дистрибутивность.
6. Разность. Разностью двух множеств A и B, заданном на одном и том же базовом множестве E, называется нечеткое множество G = A - B = A B, причем функция принадлежности определяется по правилу
х E: G(х) = min(A(х), 1 - B(х))
Для нечетких множеств из примера 2 имеем
G = A - B = {(x10.47), (x20.7), (x30.1)}.
7. Возведение в степень. Пусть задано нечеткое множество A, заданное на базовом множестве E. Возведением в неотрицательную степень "" нечеткого множества A называется нечеткое множество K = A, функция принадлежности которого K(х) определяется по правилу
K(х) = (A(х))
Возведение нечеткого множества в квадрат называется операцией концентрирования
A2 CON(A).
Извлечение корня квадратного из нечеткого множества, рассматриваемого как возведение в степень 0.5, называется операцией растяжения
A0.5 = DIL(A).
Так, например, если
A = {(x10.4), (x20.7), (x30.9)},
то
CON(A) = {(x10.16, (x20.49), (x30.81)},
DIL(A) = {(x10.63), (x20.84), (x30.95)}.
Нечетким евклидовым расстоянием между двумя нечеткими множествами A и B называется величина
Ближайшим к данному нечеткому множеству A называется четкое множество A, расположенное на наименьшем евклидовом расстоянии от A. Это множество определяется функцией принадлежности, формируемой по правилу
Пример 3. Пусть заданы два множества:
A = {(x10), (x20.1), (x30.3), (x40.7), (x50.8), (x60.9), (x71)}
и
B = {(x10), (x20), (x30), (x40.6), (x50.8), (x61), (x71)}.
Тогда e(AB) = 0.346, а ближайшее к нечеткому множеству A является четкое множество A = {(x10), (x20), (x30), (x41), (x51), (x61), (x71)}.
В теории нечетких множеств имеет место принцип обобщения, который можно записать следующим образом:
f({xA(x)}) = {f(x)A(x)}
где A - нечеткое множество; f - некоторое отображение X Y.
Например, если y = x2 + 3 и A = {(10.4), (20.6), 30.9}, то f(A) = {(40.4), (7.0.6), (120.9)}.
Этот принцип открывает возможности вводить функциональные описания на нечетких множествах, что имеет важное значение в приложениях теории нечетких множеств.