![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть 1. Методологические аспекты моделирования
- •Часть 3. О методике построения математических моделей
- •Часть 4. Экспертиза в системном анализе
- •Объект и предмет исследования
- •Часть 1. Методологические аспекты моделирования
- •Понятие моделирования
- •1.2. Обобщенный процесс моделирования
- •1.3. Математические модели
- •Часть 2. Элементы теории систем
- •2.1. Система и ее компоненты
- •2.2. Строение системы
- •2.2.1. Связи в системе
- •2.2.2. Структура системы
- •2.2.3. Пространственные и временные связи
- •2.2.4. Описание системы
- •2.3. Классификация систем
- •2.3.1. Понятие классификации
- •2.3.2. Основные методы классификации
- •Иерархическая схема классификации.
- •Классификация систем по степени структурированности.
- •2.4. Системные принципы
- •2.4. Основы системного анализа
- •2.4.1. Понятие системного анализа
- •2.4.2. Этап постановки проблемы
- •2.4.3. Содержание системного анализа
- •Часть 3. О методике построения математических моделей
- •3.1. Анализ задачи
- •3.2. Этап формирования математической модели
- •3.3. Классификация математических моделей
- •3.4. Модель черного ящика
- •3.5.Теоретико-множественная модель
- •3.6. Типовые математические схемы
- •Непрерывно-детерминированные модели (d - схемы).
- •3.7. Пример построения динамической модели
- •3.8. Метод статистических испытаний (метод Монте – Карло)
- •3.9. Имитационное моделирование
- •3.10.1. Понятие нечеткого множества
- •3.10. Операции над нечеткими множествами.
- •3.10.3. Нечеткие отношения
- •3.10.4. Нечеткие и лингвистические переменные.
- •3.10.5. О построении функций принадлежности
- •3.10.6. Элементы нечетких алгоритмов
- •Стандартные графики функции принадлежности
- •Часть 4. Экспертиза в системном анализе
- •4.1. Методы проведения экспертизы в системном анализе
- •4.1.1. Основные задачи экспертизы в системном анализе
- •4.1.2. Методы коллективной генерации идей
- •4.1.3. Структуризация систем
- •4.1.4. Морфологические методы
- •4.2. Измерение
- •4.2.1. Понятие измерения
- •4.2.2. Шкалы измерений числовых показателей.
- •4.2.3. Шкала измерений нечисловых показателей
- •4.2.4. Сравнительный анализ шкал
- •4.3. Обработка экспертных измерений
- •2.4.1. Ранжировка и оценка в баллах
- •2.4.2. Исследование зависимости показателей качества, измеряемых в нечисловых шкалах
- •4.4.3. Оценка степени согласованности порядковых показателей
- •4.4.4. Проверка степени несогласованности и безразличия экспертов
- •Заключение
- •Библиография
- •Живицкая е.Н., о.П. Едемская. Системный анализ и проектирование информационных систем: Учебно-метод. Пособие. / Мн.: бгуир, 2005.
3.8. Метод статистических испытаний (метод Монте – Карло)
К сожалению, построение аналитической модели по одной из рассмотренных выше схем удается далеко не всегда. Такая ситуация встречается при рассмотрении весьма сложных объектов или при рассмотрении новых систем, сведений о которых недостаточно для построения аналитической модели. В подобных случаях на помощь приходят так называемые численные методы. Численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин называется методом статистических испытаний или методом Монте-Карло. В основе метода лежит следующий факт: если имеется механизм генерирования (розыгрыша) значений равновероятно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины, то легко получить случайные значения другой случайной величины, распределенной по любому заданному закону.
Генерирование
значений равновероятно распределенной
случайной величины обычно осуществляется
с помощью так называемых псевдослучайных
чисел. Сегодня практически в каждом
алгоритмическом языке или пакете
прикладных программ имеется стандартная
процедура генерирования случайных
чисел. В программе достаточно написать
:
и
будет присвоено одно из значений
псевдослучайного числа. Рассмотрим
механизм метода статистических испытаний.
Генерация значений непрерывной случайной величины.
Поставим
задачу получить значения
случайной величины
,
распределенной в отрезке
с заданной плотностью
.
При
заданном законе распределения вероятность
попадания случайной величины
в
находится по известно формуле
(8)
Это
выражение можно рассматривать в качестве
уравнения относительно неизвестной
.
Покажем, что величина
,
являющаяся корнем уравнения (8), имеет
плотность вероятности
.
Функция распределения случайной величины X
монотонно
возрастает от 0 до 1. Следовательно,
прямая
(см. рис.3.5) пересекает график
в одной единственной точке, абсциссу
которой принимаем за
.
Тем самым доказано, что уравнение (8)
имеет единственное решение.
В
Рис.
3.5. Розыгрыш непрерывной случайной
величины.,
содержащийся в
.
В связи с монотонностью функции
,
любой точке
соответствует ордината кривой
,
удовлетворяющая неравенству
.
Поэтому, если
принадлежит
,
то
принадлежит интервалу
,
и наоборот (см. рис.3.5). Отсюда следует,
что
(9)
Предположим,
что случайная величина
на интервале (0,1) распределена равномерно.
В этом случае вероятность
(10)
Сравнивая это выражение с (1.3), получим
.
(11)
Соотношение
(11) показывает, что величина
имеет плотность вероятности
.
Этот факт является основанием для
построения следующей схемы получения
случайного значения непрерывной
случайной величины
,
имеющей заданный закон распределения
:
1.
Генерируется
- значение случайной величины, равномерно
распределенной в интервале (0,1);
2. Записывается уравнение
=
;
(12)
3.
Решается уравнение (12) относительно
искомой величины
.
Пример 1. Розыгрыш равномерного распределения. Пусть задано распределение
для
всех
.
Составляем уравнение
Отсюда легко получить искомый результат
.
Пример
2. Для случайной величины, распределенной
по экспоненциальному закону
для
,
окончательная формула имеет следующий
вид
(13)
Таким
образом, чтобы разыграть случайную
величину, распределенную по экспоненциальному
закону, необходимо разыграть значение
равновероятно распределенной на отрезке
[0,1] величины
,
а затем подставить ее в формулу (13).
Для
более сложных распределений не удается
аналитически решить уравнение типа
(12). Поэтому используют таблицы функций
распределений. Так же разыгрывают
равномерно распределенную величину
,
а затем по таблице ищут величину
,
удовлетворяющую условию:
.
Генерация значений дискретной случайной величины.
Пусть
заданы значения вероятностей для
некоторой дискретной случайной величины
.
Ставится задача случайным образом
выбрать одно из возможных значений
,
учитывая ее распределение.
Идея
решения данной задачи основана на
попадании случайной точки на один из
интервалов, каждый из которых пропорционален
величине соответствующей вероятности
.
Вначале,
как всегда в методе Монте-Карло,
генерируется
- значение равновероятно распределенной
в интервале (0,1) случайной величины.
Затем находится искомая величина по
правилу:
(14)
Логика
этого правила заключается в следующем.
Случайная точка
попадает в один из возможных интервалов
(см. рис.3.6.). Приведенное правило позволяет
последовательно просматривать отношения
нарастающей суммы вероятностей к их
общей сумме. Считается выбранным то
значение
,
для которого впервые выполнится условие
в (14).
Замечание. В целом ряде задач практики встает вопрос о случайном выборе одной из заданного множества альтернатив, каждый из которых имеет определенный вес. Его решить можно по аналогии с описанным выше методом, положив в (14) вместо вероятности нормированную величину соответствующего веса (метод рондомизированного розыгрыша).
Р
Рис.
3.6. Розыгрыш дискретной случайной величины.ассмотрим
пример. Имеются четыре альтернативы
с весами:
,
,
и
.
Какая альтернатива будет выбрана, если
выпала
= 0,73?
Решение. В соответствии с (14) имеем:
k=1 - "13/34 = 0.382 > 0.73?" - нет;
k=2 - "20/34 = 0.588 > 0.73?" - нет;
k=3 - "31/34 = 0.912 > 0.73?" - да!
Таким образом, выбрана третья альтернатива. Если бы выпало = 0,59, то был бы выбран тот же вариант, а вот если = 0,27, то первый и т.д.
Рассмотрим пример применения метода статистических испытаний. Пусть в данный прямоугольник вписана некоторая сложная фигура (см. рис.3.7.). Требуется определить площадь вписанной фигуры.
Решение
этой задачи при помощи метода статистических
испытаний может происходить по следующей
схеме. Реализуется механизм попадания
в прямоугольник: разыгрываются случайные
значения двух равновероятно распределенных
случайных чисел из интервала
и
,
которые выступают координатами случайной
точки. Всего разыгрываются
точек. Из них
попадает во вписанную фигуру, а
- вне ее
.
За площадь фигуры
принимается отношение числа точек
попавших в фигуру к общему числу
разыгранных точек:
.
Сколько
розыгрышей (точек
)
необходимо произвести, чтобы обеспечить
заданную точность
?
Обычно поступают следующим образом.
Производится серия из достаточно
представительного числа точек (
штук), в результате чего получается
результат
.
Затем серия повторяется и если
,
т
Рис.
3.7. Определение площади методом
статистических испытаний.
принимается за конечный результат. В
противном случае серии повторяются до
тех пор, пока два последних результата
не дадут отличие менее чем
.
Формальную
оценку числа розыгрышей можно получить
на основании следующих рассуждений.
Пусть требуется вычислить неизвестную
величину
.
Предположим, что имеется такая случайная
величина
,
что
и
.
Сгенерируем
значений случайной величины
.
Согласно центральной предельной теореме,
распределение суммы
приближается к нормальному закону с
параметрами: математическим ожиданием
и дисперсией
.
Применяя правило "трех сигм",
получаем приближенное равенство
или в более компактной форме
(15)
Данное
соотношение говорит о том, что среднее
значение сгенерированной случайной
величины с очень высокой вероятностью
равно
.
При этом ошибка не превосходит величины
,
стремящейся к нулю при возрастании
.
Важно подчеркнуть, что (15) позволяет
оценить число розыгрышей
,
которое обеспечивает получение такой
точности.