4.3 Приклади виконання лабораторної роботи

Приклад 4.3.1 Обчислити наближене значення функції, заданої у вигляді таблиці для х^*=0,702 , використовуючи лінійну інтерполяцію.

Вирішимо задачу у середовищі Excel . На листі з ім’ям “Лін_інтерполяція” розмістимо надану таблицю значень, як показано на рис. 4.1 .

Рисунок 4.1 – Зразок листа Excel “Лін_інтерполяція”

Для цього до клітини D2 введемо формулу (4.1) :

=ЕСЛИ(И($С$2>=A2;$C$2<=A3);B2+($C$2–A2)*(B3–B2)/(A3-A2):“”)

Використовуючи маркер заповнювання, копіюємо формулу до клітини С3:С6 . Якщо х^* є [ x₀ , x_n] , то відповідне y^* буде підраховане, як показано на рис. 4.2 .

Якщо x^* не належить [ x₀ , x_n] будемо мати пустий стовпчик С , тобто лінійну інтерполяцію в цьому випадку не можна використовувати.

Протокол рішення зображено на рис. 4.2 .

Рисунок 4.2 – Протокол рішення

Приклад 4.3.2 Обчислити наближене значення функції, заданої у вигляді таблиці для х^*=0,702 , використовуючи інтерполяцію по Лагранжу.

Як і у попередньому прикладі, можна розмістити початкові дані, тобто значення х^* , та таблицю значень на листі Excel з ім’ям „Лагранжа” , як показано на рис. 4.3 .

Рисунок 4.3 – Зразок листа Excel „Лагранжа”

Помістимо об’єкт – „командна кнопка” з ім’ям CommandButton1, змінимо відповідні властивості Caption , Font . Зв’яжемо з подією Click на кнопці процедуру побудови інтерполяційного багаточлена Лагранжа, та підрахунку значення функції для заданого х^*=0,702 .

Текст процедури:

Протокол рішення зображено на рис. 4.4 .

Рисунок 4.4 – Протокол рішення прикладу

5 Лабораторна робота №5 тема: Апроксимація даних (емпіричні формули)

5.1 Теоретичні відомості

Нерідко при обробці результатів спостережень зустрічаються з наступною задачею: у підсумку експерименту отриманий ряд значень змінних х і у , однак характер функціональної залежності між ними залишається невідомим, потрібно по отриманим даним знайти аналітичне вираження між x і y . Формули, отримані в результаті рішення подібного роду задач, називаються емпіричними .

5.1.1 Визначення параметрів емпіричних формул по способу найменших квадратів у випадку лінійної залежності

Нехай необхідно установити залежність між двома величинами x і y . Зробимо n вимірів і результати занесемо в таблицю

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Будемо розглядати x_і і y_і як прямокутні декартові координати точок на площі:

M₁(x₁ , y₁) , M₂(x₂ , y₂) , ... , M_n(x_n , y_n)

Припустимо, що ці точки майже лежать на деякій прямій, як показано на рис. 5.1 , отже, між x і y існує лінійна залежність, тобто

y=ax+b , (5.1)

де a , b – const і їх необхідно визначити.

Рисунок 5.1 – Зображення точок на площині

Точки M_i(x_і , y_i) тільки приблизно лежать на прямій, отже, і формули є наближеними. Таким чином, якщо підставити у формулу ах + b – у = 0 координати x_i , y_i з таблиці, то одержуємо рівності:

, (5.2)

де - відхилення.

Потрібно підібрати коефіцієнти a і b так, щоб відхилення були по можливості малими по абсолютній величині. Відповідно до методу найменших квадратів, підберемо коефіцієнти a і b так, щоб сума квадратів відхилень

(5.3)

була найменшою.

Підставляючи рівності (5.2) у формулу (5.3) одержуємо:

(5.4)

Змінна величина U є функцією двох змінних a і b , де a і b необхідно визначити; x_i і y_i - змінні, отримані в результаті вимірів. Підберемо параметри a і b так, щоб функція U одержала можливо менше значення, тобто

Знайдемо частки похідні функції U по a і b , дорівняємо їх нулю, одержимо нормальну систему:

(5.5)

Із системи (5.5) визначають параметри a і b емпіричної формули (5.1) .