3.2 Індивідуальні завдання
Для кожного варіанту:
1) обчислити інтеграл по формулі прямокутників з точністю ε = 0,01 ;
2) по формулі парабол обчислити інтеграл, уточнювання провести згідно формулі Річардсона.
3.2.1
1)
;
2)
.
3.2.2
1)
;
2)
.
3.2.3
1)
;
2)
.
3.2.4
1)
;
2)
.
3.2.5
1)
;
2)
.
3.2.6
1)
;
2)
.
3.2.7
1)
;
2)
.
3.2.8
1)
;
2)
.
3.2.9
1)
;
2)
.
3.2.10
1)
;
2)
.
3.2.11
1)
;
2)
.
3.2.12
1)
;
2)
.
3.2.13
1)
;
2)
.
3.2.14
1)
;
2)
.
3.2.15
1)
;
2)
.
3.2.16
1)
;
2)
.
3.2.17
1)
;
2)
.
3.2.18
1)
;
2)
.
3.2.19
1)
;
2)
.
3.2.20
1)
2)
.
3.2.21
1)
;
2)
.
3.2.22
1)
;
2)
.
3.2.23
1)
;
2)
.
3.2.24
1)
;
2)
.
3.2.25
1)
;
2)
.
3.2.26
1)
;
2)
.
3.2.27
1)
;
2)
.
3.2.28
1)
;
2)
.
3.2.29
1)
;
2)
.
3.2.30
1)
;
2)
.
3.3 Приклади виконання лабораторної роботи
Приклад
3.3.1 Обчислити
інтеграл
за формулою прямокутників з точністю
ε=0,01.
Вирішимо
задачу, використовуючи середовище
Excel.
Треба обчислити функцію
на проміжку [0,7;1,3].
Кількість відрізків розбивки проміжку інтегрування визначимо з умови (3.2) :
,
,
М=2, тоді 
;
.
Розмістимо початкові значення та таблицю значень x, у у такому вигляді, як показано на рис. 3.1 .
Рисунок 3.1 – Таблиця початкових значень та значень х, у
Згідно
протоколу рішення, який показано на
рис. 3.2 , отримаємо відповідь:
0,406865
.
Рисунок 3.2 – Протокол рішення інтегралу за формулою прямокутників
Приклад
3.3.2 Обчислити
інтеграл
за формулою
парабол, уточнювання провести згідно формули Річардсона.
Для
вирішення задачі з’ясуємо початкові
дані: a
= 1,2 ; b
= 1,6
,
,
оберемо n1
= 10 , n2
= 15
, які розмістимо на листі Excel
з ім’ям „Сімпсона”
. На цьому ж листі розмістимо кнопку
Command
Button1
, як показано на рис. 3.3 та створимо
процедуру рішення.
Рисунок 3.3 – Зразок листа Excel з ім’ям „Сімпсона”
Текст процедури:
Зразок протоколу рішення наведено на рис. 3.4 .
Рисунок 3.4 – Протокол рішення інтегралу за формулою парабол
Згідно протоколу рішення маємо:
=
0б08389 .
4 Лабораторна робота №4 тема: Наближення (інтерполяція) функцій
4.1 Теоретичні відомості
Задача наближення функції виникає, коли для функції, даної при дискретних значеннях аргументу у вигляді таблиці (ці значення називаються вузлами інтерполяції) необхідно знайти значення функції в проміжних крапках. Накладаючи вимогу, щоб наближена функція у вузлах співпадала з табличними значеннями (рис. 4.1), одержуємо задачу інтерполяції.
Рисунок 4.1 – Графік наближеної функції
Нехай в результаті спостережень за ходом деякого процесу побудована таблиця:
|
x |
x0 |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
f(x) |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
… |
f(xn) |
Тобто, функція f(x) задана таблицею значень для кінцевої множини значень х .
Якщо необхідно знайти значення f(x) для проміжного значення аргументу, то будують функцію φ(x) , просту для обчислень і таку, що для заданих x0 , x1 , x2 , ... , xn приймає значення f(x0) , f(x1) , f(x2) , ... , f(xn) .
В інших точках відрізка [x0, xn] вважаємо, що φ(x) приблизно визначає функцію f(x) з тим чи іншим ступенем точності.
Найчастіше, функцію φ(x) представляють у вигляді алгебраїчного багаточлена деякого ступеня.
Найпростіша інтерполяція – це лінійна, тобто, коли невідому аналітичну залежність f(x) замінюють відрізками прямих, які проходять через відповідні вузли інтерполяції. В цьому випадку потрібно визначити якому відрізку належить надане х* і за формулою лінійної інтерполяції знаходять f(x*) . Якщо xi <= x* <= xi+1 , то відповідна пряма проходить через вузли (xi , f(xі)) , (xi+1 , f(xі+1)) :
(4.1)
Точність підрахунків в цьому випадку незначна, тому що враховується вплив тільки 2-ох вузлів інтерполяції. Частіше будують багаточлен Pn(x) ступеня n , що в (n+1) даних точках x0 , x1 , x2 , ... , xn . приймає дані значення y0 = f(x0) , y1 = f(x1) , … , yn = f(xn) , тобто
f(xі) = Pn(xі) , (і = 0, 1, 2, ... , n) .
Відзначимо, що двох різних інтерполяційних багаточленів одного і того же ступеня n існувати не може. Цим умовам задовольняє інтерполяційний багаточлен Лагранжа:
(4.2)
Тоді 