Тема: Методи розв’язання систем нелінійних рівнянь
Розв’язання систем нелінійних рівнянь – важливіша задача прикладного аналізу. Розглянемо методи розв’язання на системі двох рівнянь з двома невідомими:
(2.1)
Ця задача складається з двох етапів:
1) відділення кореня, тобто визначення першого наближення до рішення;
2) уточнення значення кореня шляхом побудови відповідної послідовності наближень ітераційними методами.
2.1 Відділення першого наближення до рішення
Відділення початкового наближення можна зробити за допомогою графічних можливостей Excel, якщо систему (2.1) можна представити у вигляді:
(2.2)
х0 , у0 визначаються як координати точки перетину цих графіків.
Відокремити початкове наближення х0 , у0 до рішення системи можна із області існування змінних х , у для рівнянь (2.1).
2.2 Методи уточнення рішення системи нелінійних рівнянь
2.2.1 Метод ітерацій
Зведемо систему (2.1) до вигляду
, (2.3)
по встановленому початковому наближенню до рішення х0 , у0 , уточнення рішення відбувається за формулами:
(2.4)
Умови збіжності методу припускають, що
(2.5)
Рішення системи (2.1) вважається знайденим з точністю ε , якщо виконуються умови:
2.2.2 Використання пакету аналізу Excel
Рішення систем нелінійних рівнянь відбувається через меню „Сервис” та інструмент „Поиск решения” .
У вікні „Поиск решения” треба визначитись з адресами цільової функції та адресами, де буде розміщене рішення системи хn+1 , yn+1 .
Вказати за допомогою перемикача значення цільової функції (максимальне, мінімальне чи нульове) . Якщо систему (2.1) можна визначити у вигляді
то
за цільову функцію вибирають =СРОТКЛ(
; ) - середньоквадратичне відхилення
від
, як показано на рис. 2.1 .
Рисунок 2.1 – Приклад визначення цільової функції
У загальному випадку будують функцію
, яку визначають як цільову. Вікно пошуку
рішення показано на рис. 2.2 .
Рисунок 2.2 – Вікно „Поиск решения”
Зверніть увагу, що у групі „Равной” встановлено перемикач в положення „значению” , а в полі вводу вказано значення 0 .
Додатково необхідно у діалоговому вікні „Параметри поиска решения” зняти прапорець біля „Линейная модель” і натиснути на „Выполнить” .
2.3 Індивідуальні завдання
Для кожної системи нелінійних рівнянь визначити початкове наближення до рішення та уточнити це рішення з точністю ε = 0,001 .
2.3.1
1)
2)
2.3.2
1)
2)
2.3.3
1)
2)
2.3.4
1)
2)
2.3.5
1)
2)
2.3.6
1)
2)
2.3.7
1)
2)
2.3.8
1)
2)
2.3.9
1)
2)
2.3.10
1)
2)
2.3.11
1)
2)
2.3.12
1)
2)
2.3.13
1)
2)
2.3.14
1)
2)
2.3.15
1)
2)
2.3.16
1)
2)
2.3.17
1)
2)
2.3.18
1)
2)
2.3.19
1)
2)
2.3.20
1)
2)
2.3.21
1)
2)
2.3.22
1)
2)
2.3.23
1)
2)
2.3.24
1)
2)
2.3.25
1)
2)
2.3.26
1)
2)
2.3.27
1)
2)
2.3.28
1)
2)
2.3.29
1)
2)
2.3.30
1)
2)
