2. 3.3. Нахождение -передаточной матрицы непрерывного объекта в системе управления с бцвм

Использование дискретной модели.Рассмотрим систему автоматического управления с БЦВМ в контуре (рис.1.4). Будем полагать, что управлениеформируется с помощью экстраполятора нулевого порядка и прикладывается к непрерывному объекту с запаздыванием по отношению к моментам съема информации на величину, где- период дискретности. Дискретная модель объекта для этой ситуации была получена в разделе 2.4 и представляется разностными уравнениями (2.4.4).-передаточная матрица для этой модели может быть определена формальным применением результатов предыдущего раздела. Очевидно, что эта передаточная матрица будет зависеть от параметра, определяющего запаздывание по управлению, что эквивалентно наличию смещения между решетчатыми вектор-функциями выхода и входа дискретной модели. Отметим, что модель (2.4.4) была получена без использования понятия смещенных решетчатых функций. Это объясняется тем, что дискретное управление, которое фактически является смещенной решетчатой функцией по отношению к выбранным моментам квантования, вычисляется по информации, полученной именно в эти моменты времени, и поэтому имеет тот же дискретный аргумент, что и решетчатая функция выхода объекта. Тем не менее, если не учитывать то, по какой информации вычисляется управление, то дискретная модель объекта может быть получена с использованием смещенных решетчатых функций. При этом в качестве опорной решетчатой функции удобно выбрать дискретное управление. Тогда дискретный выход объекта будет представляться смещенной решетчатой функцией(рис.3.2). Отметим, что смещение этой функции является отрицательным (влево по оси времени), что эквивалентно запаздыванию по управлению.

Рис. 3.2.

Выберем в качестве дискретного состояния смещенную решетчатую векторную функцию . Тогда рассуждая совершенно аналогично тому, как это было сделано в разделе 2.4, получим дискретную модель следующего вида

(3.3.1)

где - та же, что и в непрерывном объекте (2.4.1), а матрицы,,определяются теми же соотношениями, что и для дискретной модели (2.4.4), то есть

(3.3.2)

Перейдем в (3.3.1) к Z–изображениям при нулевых начальных условиях. Тогда после преобразований получим

.

Отсюда следует, что -передаточная матрица дискретной модели (3.3.1) определится соотношением

. (3.3.3)

Отметим, что в качестве вектора дискретных состояний можно выбрать и несмещенную решетчатую функцию . Тогда нетрудно показать, что уравнение состояний дискретной модели будет иметь вид

, (3.3.4)

где - та же, что и в (3.3.2), а матрицаопределяется соотношением

. (3.3.5)

Что касается уравнения для выходной переменной, то, используя решение уравнения состояний непрерывного объекта на интервале , получим

или после преобразований и перехода к решетчатым функциям будем иметь

.

Таким образом, при выборе в качестве вектора состояний несмещенной решетчатой функции, дискретная модель непрерывного объекта принимает вид

(3.3.6)

где

,. (3.3.7)

Сравнивая модели (3.3.1) и (3.3.6) заключаем, что наличие запаздывания по управлению ведет к неоднозначности представления дискретной модели непрерывного объекта (2.4.1), что обусловлено неоднозначностью выбора решетчатой функции вектора дискретных состояний.

Найдем -передаточную матрицу дискретной модели (3.3.6). Для этого перейдем кZ–изображениям при нулевых начальных условиях, и используя свойство изображений сдвинутых на один такт решетчатых функций, после преобразований получим

,

откуда следует, что

. (3.3.8)

Поскольку передаточная матрица системы не зависит от выбора переменных состояния, то следует предположить, что передаточные матрицы (3.3.3) и (3.3.8) совпадают. Покажем это. Для этого, используя тождество и принимая во внимание (3.3.2), из (3.3.3) запишем

Учитывая теперь, что матричные экспоненты иявляются перестановочными матрицами и, принимая во внимание обозначения (3.3.7), получим

.

Перейдем в первом интеграле выражения в скобках к новой переменной . Тогда после несложных преобразований с учетом (3.3.5) будем иметь

что совпадает с (3.3.8). Таким образом неоднозначность представления дискретной модели не влияет на ее -передаточную матрицу.

Использование передаточной матрицы непрерывного объекта.Пусть непрерывный объект задан дифференциальными уравнениями в форме "вход-выход" или своей передаточной матрицей. Тогда для нахождения-передаточной матрицыэтого объекта не обязательно использовать его дискретную модель. В этом случаеможет быть определена непосредственно по передаточной матрицес использованием таблицыZ–изображений (см. приложение).

Для вывода основной формулы, определяющей связь между передаточными матрицами идостаточно определить связь между элементами этих матриц, что равносильно рассмотрению системы с одним входом и одним выходом. Таким образом, переходя к решению задачи, рассмотрим односвязный непрерывный объект с передаточной функцией. По-прежнему будем считать, что управляющее воздействиеформируется с помощью экстраполятора нулевого порядка, а выход этого объектаквантуется с отрицательным сдвигомпо отношению к моментам выдачи управлений. Тогда дляZ-изображений решётчатых функцийиможно записать следующее формальное соотношение

, (3.3.9)

где –искомаяz-передаточная функция непрерывного объекта.

Очевидно, что если задать некоторое входное воздействие , для которого известноZ–изображение, и определить затемZ–изображение смещённой решётчатой функции выхода, то из формулы (3.3.9) можно определить. При этом, поскольку передаточная функция не зависит от входного воздействия, то в качествецелесообразно выбрать такую решётчатую функцию, при которой на выходе экстраполятора образуется наиболее простая непрерывная функция. В качестве такого воздействия можно выбрать единичную ступенчатую функцию. Тогда на выходе экстраполятора нулевого порядка будем иметь непрерывную единичную ступенчатую функцию.

Реакция непрерывного объекта на такое воздействие может быть определена с помощью обратного преобразования Лапласа

. (3.3.10)

Квантуя полученную функцию в моменты и определяя для соответствующей решётчатой функции смещённоеZ-изображение, будем иметь

(3.3.11)

Последнюю операцию можно осуществить с помощью таблиц Z–изображений, которые содержатZ–изображения как для несмещённых, так и для смещённых решётчатых функций. При этом смещённоеZ–изображение в этих таблицах всегда определяется для положительного смещения. Поэтому, чтобы воспользоваться подобными таблицами необходимо с использованием свойства (3.1.14) перейти к положительному смещению по следующей схеме

Таким образом, вместо (3.3.11) следует принять

. (3.3.12)

Отметим, что при использовании таблиц Z–изображений нет необходимости выполнения промежуточных операций взятия обратного преобразования Лапласа и квантования непрерывной функции. Все эти операции уже учитываются в данных таблицах. Поэтому вместо (3.3.12) можно записать следующее условное выражение

, (3.3.13)

которое и будет определять Z–изображение выхода дискретной модели, когда на её входе действует единичная ступенчатая функция .

Z–изображение этой функции имеет вид

.

Тогда из (3.3.9) и (3.3.13) окончательно получим

. (3.3.14)

Если рассматриваемая система является многомерной, то, очевидно, что аналогичное соотношение можно записать и для передаточных матриц, то есть

, (3.3.15)

где Z–изображение определяется по элементам соответствующей матрицы.

Рассмотрим два предельных случая и. В первом случае запаздывание по управлению отсутствует, и формула (3.3.15) принимает вид

, (3.3.16)

где –представляет собой простоеZ–преобразование для решётчатой функции с прямым сдвигом на один такт.

При запаздывание по управлению составляет целый такт дискретности. В этом случае, и смещённоеZ–изображение превращается в простое. Тогда, с учётом (3.3.16), получим

. (3.3.17)

Отметим, что передаточная матрица , определяемая формулой (3.3.15), естественно совпадает с передаточными матрицами (3.3.3), (3.3.8). В справедливости этого утверждения можно убедиться на конкретном примере.

Пример.Предположим, что непрерывный объект представляется в форме Коши следующими дифференциальными уравнениями

, (3.3.18)

где –переменные состояния;–вход и выход;–параметры объекта. Считая, что в системе присутствует запаздывание по управлению на величинуи полагая, что ЦАП является экстраполятором нулевого порядка, найдёмz–передаточную функцию, соответствующую объекту (3.3.18).

Воспользуемся сначала формулой (3.3.3). Для этого определим матрицы и. Можно показать[10], что для системы (3.3.18) матричная экспонентаимеет вид

.

Тогда, если воспользоваться формулами (3.3.2), то можно определить

,

. (3.3.19)

Обозначая для сокращения записей ,и производя вычисления по формуле (3.3.3), после преобразований получим

, (3.3.20)

где

;

. (3.3.21)

Определим теперь Z–передаточную функцию непрерывного объекта по формуле (3.3.14). Для этого найдём его передаточную функцию. Нетрудно показать, что

. (3.3.22)

Разлагая функцию на сумму элементарных дробей и применяя с помощью таблицы (см. приложение) смещённоеZ–изображение получим

Приводя к общему знаменателю после преобразований, получим

,

где снова определяются формулами (3.3.21), то есть полученная передаточная функция совпадает с (3.3.20), что и следовало ожидать.