3.2. Передаточные функции (матрицы) дискретных систем
Понятие -передаточной функции (матрицы) дискретной системы.Передаточную функцию дискретной системы с одним входом и одним выходом можно определить как отношениеZ– илиD–изображения решетчатой функции выхода к соответствующему изображению решетчатой функции входа при нулевых начальных условиях. Следует заметить, что в силу более простой структурыZ–изображения (3.1.8), по сравнению сD–преобразованием (3.1.1), именно оно обычно используется для определения передаточных функций дискретных систем, которые в этом случае иногда называют-передаточными функциями.
Рассмотрим линейную многомерную дискретную систему с входами ивыходами. Используя понятие-передаточной функциимежду-ым выходом и-ым входом и применяя принцип суперпозиции, можно найтиZ-изображение любого выходапо изображениям входов, то есть
. ,. (3.2.1)
Если перейти к векторным переменным входов и выходов
; ,
то равенство (3.2.1) можно записать в векторно-матричной форме
, (3.2.2)
где - матрица размеров, состоящая из элементов, которую будем называть-передаточной матрицей многомерной дискретной системы.
Определение -передаточных матриц по разностным уравнениям.Рассмотрим многомерную дискретную систему, представленную разностными уравнениями в форме Коши
(3.2.3)
где ,,- векторы состояний, входов и выходов;,,- числовые матрицы соответствующих размеров.
Применим к уравнениям (3.2.3) Z–преобразование. Тогда используя свойство линейности изображений (3.1.11) и изображение смещенной (на один такт) решетчатой функции (3.1.13), получим
Выразим из первого уравнения
. (3.2.4)
Эту формулу можно рассматривать как способ решения разностного уравнения (3.2.3) с помощью Z–преобразования.
Используя (3.2.4), запишем выражение для при нулевых начальных условиях. Будем иметь
.
Сравнивая полученное выражение с формулой (3.2.2) заключаем, что -передаточная матрица дискретной системы (3.2.3) определится выражением
. (3.2.5)
При этом если система имеет один вход и один выход , то (3.2.5) превращается в скалярную передаточную функцию, представляемую отношением двух полиномов, то есть
, (3.2.6)
где - характеристический полином системы (3.2.3), а- некоторый полином, степень которого не превышает.
Пусть теперь дискретная система представлена разностными уравнениями в форме "вход-выход"
,, (3.2.7)
где и- числовые матрицы размеровисоответственно. Применим к уравнению (3.2.7)Z–преобразование при нулевых начальных условиях. Тогда используя (3.1.15) будем иметь
или представляя матричные полиномы в скобках с помощью полиномиальных матриц
,, (3.2.8)
получим уравнение (3.2.7) в Z–изображениях
. (3.2.9)
Заметим, что это уравнение можно получить из операторного представления (2.1.13) путем формальной замены оператора прямого сдвига на переменную.
Выражая из (3.2.9) изображение выхода и сравнивая полученное соотношение с (3.2.2), заключаем, что-передаточная матрица дискретной системы, представленной в форме "вход-выход", может быть определена по формуле
, (3.2.10)
которая, очевидно, совпадает с формулой для операторной передаточной матрицы (2.1.14) после замены на.
Заметим, что для односвязной системы полиномиальные матрицыи, определяемые соотношениями (3.2.8), превратятся в скалярные полиномыи, а (3.2.10) станет скалярной передаточной функцией вида (3.2.6).
Связь передаточной и весовой матриц дискретной системы.Рассмотрим решение разностного уравнения состояний, определяемое формулой (2.6.2), то есть
, (3.2.11)
где имеет смысл нормированной фундаментальной матрицы, которую можно рассматривать как матрицу, составленную из свободных реакций системы (3.2.3). Это, в частности, означает, что
, при. (3.2.12)
Применим к (3.2.11) Z–преобразование. Тогда используя свойство линейности и изображение свертки решетчатых функций (3.1.16), получим
Учитывая теперь (3.2.12) и применяя свойство (3.1.14) будем иметь
.
Сравнивая полученное выражение с (3.2.4) нетрудно заключить, что
. (3.2.13)
Это выражение дает один из способов вычисления нормированной фундаментальной матрицы с помощью обратногоZ–преобразования, то есть
. (3.2.14)
Рассмотрим -передаточную матрицу (3.2.5), для которой с учетом (3.2.13) можно записать
Заметим, что, как было определено в разделе 2.6, представляет собой весовую матрицу дискретной системы. Таким образом, окончательно получаем
, (3.2.15)
то есть Z–изображение от весовой матрицы представляет собой передаточную матрицу. Это свойство, в частности, дает возможность нахождения весовой матрицы с помощью обратногоZ–преобразования.