Глава 3. Анализ дискретных систем на основе комплексных отображений

2. Дискретное преобразование Лапласа и Z–преобразование

Дискретное преобразование Лапласа.Для исследования дискретных систем автоматического управления, а также в других прикладных задачах, связанных с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, часто используется преобразование, которое для некоторой решетчатой функцииопределяется формулой

, (3.1.1)

где - период дискретности, а- комплексная переменная. Оно называется дискретным преобразованием Лапласа илиD–преобразованием и символически обозначается как. При этом функцияназывается изображением. Дискретное преобразование Лапласа может быть определено и для смещенных решетчатых функцийпо формуле

. (3.1.2)

Можно показать [4], что ряд(3.1.1)или (3.1.2) является сходящимся в области, гденазывается абсциссой абсолютной сходимости и определяется величиной. Отметим, что для подавляющего большинства решетчатых функций, с которыми приходится иметь дело в практике автоматического управления,, что гарантирует существование для этих функцийD–изображений. Причем обычно оказывается возможным распространить область существованияD–изображений на всю комплексную плоскостьза исключением конечного числа особых точек, являющихся полюсами функции.

Установим связь D–преобразования с обычным преобразованием Лапласа. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию, которая определяется как результат квантования в моментынекоторой непрерывной функциис помощью дельта-функций. Эту вспомогательную функцию можно представить в виде

. (3.1.3)

Применяя для преобразование Лапласа, символически определяемое как, и используя одно из свойств дельта-функций, будем иметь

где . Таким образом, дискретное преобразование Лапласа решетчатой функцииможно рассматривать как обычное преобразование Лапласа функции (3.1.3), состоящей из последовательности смещенных дельта-функций, взвешенных значениямипри. Если известноD–изображение, то оригиналможно найти с помощью обратногоD–преобразования, которое определяется следующим образом

, (3.1.4)

а) б)

Рис. 3.1.

где- некоторая постоянная. Аналогичной формулой определяется обратноеD–преобразование для смещенных решетчатых функций. Отметим, что интегрирование в формуле (3.1.4) производится в комплексной плоскостивдоль некоторой прямой(рис.3.1, а), отстоящей от мнимой оси на расстояние, которое выбирается так, чтобы все полюса функциирасполагались левее этой прямой. При этом ограничение пределов интегрирования вдоль мнимой осиобъясняется тем, что функцияявляется периодической относительно мнимой части своего аргумента с периодом. Действительно, принимая во внимание известное свойство комплексных функций

нетрудно показать, что . Это означает, что функциюдостаточно рассматривать в полосе, которая называется основной полосой.

Рассмотрим дискретное преобразование Лапласа (3.1.1) некоторой решётчатой функции при условии, что переменнаяпринимает значения в комплексной плоскости (рис.3.1, а) на мнимой оси, то есть. Получаемая таким образом комплексная функция называется дискретным преобразованием Фурье и с учётом (3.1.1) определяется выражением

.

При этом, если решётчатая функция определена и для отрицательных значений своего аргумента, то аналогично преобразованию Фурье для непрерывных функций можно ввести понятие двухстороннего дискретного преобразования Фурье

. (3.1.5)

Рассмотрим формулу обратного преобразования Лапласа (3.1.4). Полагая в этой формуле и считая, что интегрирование ведётся вдоль мнимой оси () приходим к формуле обратного дискретного преобразования Фурье

.

Пусть решётчатая функция получена из некоторой непрерывной функциипутём её квантования в моменты. И пустьобозначает преобразование Фурье этой непрерывной функции, то есть

,

а , определяемое формулой (3.1.5), обозначает дискретное преобразование Фурье соответствующей решётчатой функции. Тогда, как показано в разделе 1.4, связь междуивыражается формулой

.

Полагая , получим следующее формальное соотношение

. (3.1.6)

Можно показать [4], что это равенство остаётся справедливым не только при, но и при любыхиз области определенияL– и D–изображений. Таким образом, еслии, где, то из (3.1.6) вытекает формула

, (3.1.7)

которая устанавливает связь между преобразованием Лапласа некоторой непрерывной функции и D–преобразованием соответствующей ей решётчатой функции.

Z–преобразование.В теории дискретных систем наряду сD–преобразованием широко используется так называемоеZ–преобразование, определяемое формулой

(3.1.8)

или для смещенных решетчатых функций

,

где - комплексная переменная. Сравнивая (3.1.8) и (3.1.1) нетрудно заметить, что эта переменная связана с комплексной переменнойсоотношением

, (3.1.9)

которое устанавливает связь между D– иZ–преобразованиями. Формально (3.1.9) отображает основную полосу плоскостина всю расширенную плоскость комплексной переменной(рис.3.1, б). При этом отрезок мнимой осиотображается в окружность единичного радиуса. Левая полуполосаосновной полосы плоскостиотображается во внутренность единичного кругаплоскости, а правая полуполоса- во внешность этого круга. Отрезок прямойплоскостиотображается в окружность,, так что, если полюса функциилежат левее указанной прямой, то соответствующие им полюса функциибудут находиться внутри круга.

Найдем формулу для обратного Z–преобразования. Для этого, используя (3.1.9), найдем. Выражая отсюдаи подставляя его в (3.1.4), в котором вместобудем использовать соответствующее ему изображение, окончательно получим

, (3.1.10)

где интегрирование ведется в комплексной плоскости по замкнутому контуру, образованного окружностью.

Свойства Z–преобразования.Приведем некоторые основные свойстваZ–преобразования, имея в виду, что с учетом (3.1.9) аналогичные свойства имеют место и дляD–преобразования.

1. Линейность Z–преобразования.Если- некоторые решетчатые функции, а- соответствующие имZ–изображения, то

, (3.1.11)

где - произвольные постоянные.

2. Смещение на конечное число тактов в области оригиналов.Пустьнекоторая решетчатая функция, для которой определеноZ–изображение. И пусть-целое число. Тогда

, (3.1.12)

. (3.1.13)

При этом, если при, то формула (3.1.12) упрощается, принимая вид

. (3.1.14)

Аналогично, если равны нулю, то вместо (3.1.13) получим

. (3.1.15)

3. Умножение оригинала на экспоненту (смещение в области изображений).Это свойство выражается формулой

,,

где - произвольная постоянная, а- период дискретности.

4. Свертка решетчатых функций.Сверткой решетчатых функцийиназывается следующее выражение

.

Тогда, если ,, то, или

. (3.1.16)

5. Предельные значения изображений и оригиналов.Пустьявляется изображением некоторой решетчатой функции. Тогда

(3.1.17)

Доказательство любого из приведенных свойств можно получить непосредственно из определения Z–изображения. В качестве примера рассмотрим доказательство формулы (3.1.13). Используя (3.1.8) будем иметь

.

Доказательство остальных свойств, а также другие свойства Z–преобразования можно найти, например, в[3].