- •2.2 Методичні вказівки до виконання завдання
- •2.2.1 Визначення початкових умов та початкових значень перехідного процесу
- •2.2.1.1 Короткі відомості з теорії
- •2.2.1.2 Виконання завдання
- •2.2.2 Складання та розв’язування диференційного рівняння
- •2.2.2.1. Короткі відомості з теорії
- •2.2.2.2 Виконання завдання
- •2.2.3 Визначення перехідних та імпульсних характеристик відносно струму кола та напруг на його елементах і побудова їх графіків
- •2.2.3.1. Короткі відомості з теорії
- •2.2.3.2 Виконання завдання
- •Будуємо графіки
- •2.2.4 За допомогою одиничних функцій записати вираз для прямокутного відео імпульсу тривалістю с
- •2.2.4.1 Короткі відомості з теорії
- •2.2.4.2 Виконання завдання
- •2.3 Висновки
2.2.2.2 Виконання завдання
Визначаємо примусову складову напруги на ємності для часу
, а також та . Оскільки при ємність зарядиться, то її
внутрішній опір сталому струму буде рівним (рисунок 3) нескінченості . Тоді , .
За другим законом Кірхгофа
В,
тому
В.
За другим законом Кірхгофа для кола після комутації маємо
В. (2.6)
Складемо диференційне рівняння відносно напруги на ємності . Струм кола та напруга на активному опорі визначаються виразами (таблиця 2.1)
, .
Після підставлення цих виразів у співвідношення (2.6) отримаємо
В,
що становить шукане диференційне рівняння.
Розв’язувати це рівняння будемо на підставі виразу
. (2.7)
Складемо характеристичне рівняння та визначимо його корінь
.
Звідки . Отже
(2.8)
За наведеними вище значеннями параметрів стала кола дорівнює с.
Сталу інтегрування А визначимо шляхом підставлення у вираз (2.7) момент часу . Маємо або , звідки -61 В.
Після підставлення обчислених значень у вираз (8) знаходимо
В. (2.9)
На підставі даних таблиці 1 отриманий вираз дає змогу визначити закони зміни струму в колі та напруги на резисторі
А, (2.10)
В. (2.11)
2.2.3 Визначення перехідних та імпульсних характеристик відносно струму кола та напруг на його елементах і побудова їх графіків
2.2.3.1. Короткі відомості з теорії
Часові характеристики (перехідна та імпульсна) базуються на одиничній та дельта функціях.
Одинична (рисунок 2.4,а) функція (функція Хевісайда) визнача-ється виразом
.
Розглядають одиничну функцію із запізненням (рисунок 2.4, б)
та випередженням (рисунок 2.4, в)
.
Одинична функція володіє двома важливими властивостями формування. Перша властивість полягає в тому, що при множенні неперервної функції (рисунок 2.5, а) на одиничну функцію (рисунок 2.5, б) формується розривна функція (рисунок 2.5, в), тобто
.
Друга властивість полягає в тому, що при множенні сталого числа А
(рисунок 6, а) на одиничну функцію (рисунок 6, б) формується ступінчаста
функція (рисунок 6, в), яку називають функцією вмикання, тобто
.
Дельта-функція (функція Дірака) – така функція, яка всюди дорівнює нулю, окрім моменту часу , де вона перетворюється в нескінченість (рисунок 2.7, а),тобто
Рисунок 2.5
Рисунок 2.6
. (2.12)
Дельта-функція може бути із запізненням (рисунок 2.7,б)
та із випередженням (рисунок 7, в)
.
Дельта-функція відноситься до узагальнюючих чи особливих функцій
становить собою зручну математичну модель таких процесів, що швидко протікають, як вмикання та вимикання напруги, вибух, удар і т. п. Разом з тим інтеграл від цієї функції (що характеризує, наприклад, роботу струму чи сили) повинен відрізнятись від нуля.
Прикладом таких явищ може бути коротке замикання в електричному колі, коли струм в ньому практично миттєво зростає дуже великого значення, а потім швидко зменшується до нуля. Такий процес супроводжується значними затратами енергії. Для математичного опису таких імпульсних процесів використовується дельта-функція.
Розглядають три властивості дельта-функції.
Перша властивість полягає в тому, що
, (2.13)
тобто площина, обмежена дельта0функцією, дорівнює одиниці.
Математично вирази (2.12) та (2.13) є несумісними (за класичним визначенням інтеграл від функції (2.1) не існує). Тому дану властивість можна розглядати як границю прямокутного імпульсу тривалістю (рисунок 2.8) та амплітудою при .
Дійсно, площина такого імпульсу дорівнює
,
а границя .
Таким чином, дельта-функція становить собою імпульс нескінченно
малої тривалості та нескінченно великої амплітуди. Фізично це означає, що тривалість дельта-функції значно менше тривалості досліджуваного електричного кола, тобто і тривалості перехідного процесу, а амплітуда імпульсу є достатньою, щоб такий процес виник при його дії.
Друга властивість отримала назву фільтрації. Вона полягає в тому, що
або ,
тобто, якщо під інтегралом неперервна функція множиться на дельта-функцію, то значення неперервної функції стають рівними нулю за винятком тих, де дельта-функція є визначеною.
Третя властивість полягає в тому, що
або ,
тобто добуток неперервної функції на дельта-функцію дорівнює їх добутку в
точці визначення дельта-функції.
Між одиничною та дельта-функцією існує зв’язок, який визначається виразом
або .
Часові характеристики електричних кіл становлять собою відгуки цих кіл на типові дії – на одиничну функцію та дельта-функцію – при нульових початкових умовах. Відповідно розглядають перехідну та імпульсну характеристики.
Перехідною характеристикою називають відгук електричного кола на дію одиничної функції при нульових початкових умовах. Оскільки при , то і при . Це аналітично виражається множенням перехідної характеристики на одиничну функцію . Тут наявність множника тільки обмежує область існування функції від до , не впливаючи на характер її зміни.
Розмірність перехідної характеристики залежить від розмірності вхідної дії та відгуку і визначається відношенням розмірності вихідної величини до розмірності вхідної дії. Види перехідних характеристик залежно від розмірності вхідних та вихідних величин подано в таблиці 2.2.
По вигляду перехідної характеристики можна визначити деякі властивості та параметри електричних кіл.
Таблиця 2.2 – До поняття перехідної характеристики електричного кола
№ з/п |
Вхідна дія |
Вихідна величина |
Назва перехідної характеристики |
Позначення |
Одиниця виміру |
1 |
По напрузі |
Безрозмірна |
|||
2 |
Прохідна провідність |
См |
|||
3 |
Прохідний опір |
Ом |
|||
4 |
По струму |
Безрозмірна |
Імпульсною характеристикою електричного кола називають його відгук на дію дельта-функції при нульових початкових умовах.
Оскільки при і дорівнює нулю, якщо та , то при . При може бути нерівною нулю. Це пояснюється тим, що в момент часу , тобто в момент електричного удару по електричному колу, який триває дуже малий час , в колі може накопичитись електрична чи магнітна енергія. Дія цієї енергії може викликати появу струмів чи напруг на виході кола, тобто імпульсна характеристика може не дорівнювати нулю і після . Вигляд залежить від параметрів та конфігурації електричного кола.
За виглядом імпульсної характеристики можна приймати рішення про деякі властивості та параметри електричного кола.
Оскільки дельта-функція визначається похідної від одиничної функції, то імпульсна характеристика є похідною від перехідної характеристики або з врахуванням області існування
.
Таким чином імпульсна характеристика електричного кола дорівноє першій похідній від перехідної характеристики.
Після диференціювання останнього виразу отримаємо
.
На підставі третьої властивості дельта-функції друга складова останнього виразу не буде дорівнювати нулю тільки при тобто
.
Таким чином можна визначити імпульсну характеристику при відомій перехідній характеристиці. В останньому рівнянні добуток визначає вільну складову перехідного процесу, а – його примусову складову. Отже перехідна характеристика забезпечує можливість опису як вільної, так примусової складової перехідного процесу, а імпульсна характеристика – тільки вільної складової.