2.2.1.2 Виконання завдання

Визначаємо початкові умови для моменту часу t = - 0 відносно напруги на ємності (рисунок 2.1). Оскільки до комутації енергія в електричному полі ємності була відсутня , то і початкові умови є нульовими.

Визначаємо незалежні початкові значення для моменту часу t = + 0. На підставі другого закону комутації маємо .

Для моменту часу t = + 0 складемо схему заміщення (рисунок 2.3) та визначаємо залежні початкові значення. Оскільки передбачається, що комутація здійснюється миттєво, тобто час комутації дорівнює нулю , то частота коливань в момент комутації t = + 0 дорівнює нескінченості (). Тому для цього моменту часу ємність замінюємо джерелом електрорушійної сили, значення якої дорівнює , та внутрішнім опором .

На підставі цієї схеми за законом Ома визначаємо залежні початкові

значення

А, В.

2.2.2 Складання та розв’язування диференційного рівняння

2.2.2.1. Короткі відомості з теорії

Аналіз перехідних процесів в електричних колах з постійними значеннями параметрів R, L, C базується на використанні законів Кірхгофа та Ома для миттєвих змінних електричних величин, що застосовуються до будь-якого стану електричного кола. Одержані на їх підставі диференційні рівняння, що моделюють перехідні процеси, після розв’язання дають можливість визначити значення струмів і напруг у будь-який момент часу. Постійні інтегрування визначаються на основі початкових умов процесу за допомогою законів комутації.

При складанні диференційних рівнянь відносно шуканої функції зручно використовувати вирази (таблиця 2.1), що встановлюють зв’язок між миттєвими значеннями струмів та напруг на окремих елементах електричного кола.

Для складання диференційного рівняння відносно шуканої функції необхідно:

- за законами Кірхгофа скласти систему рівнянь (багатоконтурне коло) або одне рівняння (одноконтурне коло) миттєвих значень для схеми після комутації;

- перетворити отримані рівняння відносно шуканої функції, використовуючи зв’язки між миттєвими значеннями струмів та напруг за виразами, поданими в таблиці 1. Перетворення здійснювати до отримання рівняння відносно шуканої функції.

Порядок диференційного рівняння визначається порядком електричного кола, що у свою чергу визначається кількістю інерційних елементів L, С, що запасають чи віддають енергію незалежно один від одного.

Таблиця 2.1 – Вирази зв’язку між миттєвими значеннями струмів та напруг на окремих елементах електричного кола

Елемент електричного кола	Зв’язок між миттєвими значеннями струмів та напруг на елементі
	, .
	, .
	,

Перехідні процеси в електричних колах описуються лінійним неоднорідним диференційним рівнянням, яке для кола порядку n має вигляд

, (2.1)

де – реакція (відгук) кола на зовнішню дію (напруга чи струм);

– зовнішня дія (напруга чи струм);

– сталі коефіцієнти диференційного рівняння, що визначаються параметрами кола та конфігурацією його схеми;

– похідні реакції кола і зовнішньої дії порядку і та j відповідно.

В розгорнутому вигляді вираз (1) можна подати таким чином

(2.2)

Із математики відомо, що рівняння (2) має розв’язок вигляду

, (2.3)

де – вільна складова, яка становить собою загальний розв’язок однорідного диференційного рівняння (рівняння (2.2) без правої частини);

– примусова складова, яка становить собою частковий розв’язок диференційного рівняння (рівняння (2.2) з правою частиною).

Складання рівняння (2.2) та пошук його рішення вигляду (2.3) називають класичним часовим методом аналізу електричних кіл.

Примусова складова залежить від схеми кола, його параметрів та характеру зовнішньої дії. Вона визначається у другому усталеному режимі (рисунок 2.2). При цьому використовують закони Ома та Кірхгофа, а також властивості послідовного та паралельного з’єднань елементів кола. В загальному вигляді примусова складова описується виразом

.

Вільна складова визначається шляхом розв’язування однорідного диференційного рівняння вигляду

(2.4)

де n – порядок диференційного рівняння;

– корні характеристичного рівняння;

– сталі інтегрування.

Характеристичне рівняння отримують із однорідного диференційного рівняння порядку n

.

Корені характеристичного рівняння для пасивних електричних кіл зажди або дійсні від’ємні, або комплексні з від’ємною дійсною частиною. Фізично це пояснюється тим, що вільний процес здійснюється шляхом використання накопиченої елементами L та С енергії. З плином часу ця енергія витрачається на незворотні втрати (перетворюється в теплоту на активних опорах).

Сталі інтегрування визначають за початковими значеннями шуканої функції та її похідних до порядку (n-1) при t = + 0.

Після диференціювання виразу (2.4) послідовно (n-1) раз для t = + 0 отримаємо систему рівнянь відносно

(2.5)

В правій частині системи рівнянь (2.5) знаходяться початкові значення та похідні від примусової складової. Після їх визначення за методикою, описаною в третьому питанні, знаходяться сталі інтегрування. Після визначення та їх підставлення у вираз (2.3) отримаємо аналітичний вираз шуканої функції (струму чи напруги) для довільного моменту часу, як для перехідного, так і для усталеного режиму.