4.4 Анализ замкнутой системы, образованной нелинейным непрерывным объектом
и линейным дискретным регулятором
Получим матрицы замкнутой линейной системы, образованной дискретным объектом и дискретным динамическим регулятором.
>> [Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd)
Acd =
1.0e+006 *
-0.0569 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0571 0.0002 0.0000 0.0000
0.0569 0.0000 0.0000 0 -0.0572 -0.0002 -0.0000 -0.0000
7.6060 0.0000 0.0000 0 -7.6362 -0.0305 -0.0011 -0.0011
-7.6032 -0.0000 -0.0000 0.0000 7.6334 0.0304 0.0011 0.0011
-0.0569 0 0 0 0.0571 0.0002 0.0000 0.0000
0.0567 0 0 0 -0.0570 -0.0002 -0.0000 -0.0000
7.6023 0 0 0 -7.6326 -0.0305 -0.0011 -0.0011
-7.6026 0 0 0 7.6329 0.0304 0.0011 0.0011
Bcd =
0.0011
-0.0011
-0.1506
0.1506
0
0
0
0
Ccd =
1 0 0 0 0 0 0 0
Dcd =
0
Вычислим собственные значения дискретной системы
>> eig(Acd)
ans =
-8.0681
0.6708 + 0.4127i
0.6708 - 0.4127i
0.6043
0.0214
-0.0109 + 0.0178i
-0.0109 - 0.0178i
0.0004
Замкнутая система оказалась неустойчивой – есть две возможности создать устойчивую систему:
1 – изменить период дискретизации Т
2 – назначить другие желаемые собственные значения.
Попробуем реализовать 1-ю возможность, выберем Т=0.005
>> eig(Acd)
ans =
-7.9537
-0.2951
0.0258 + 0.4305i
0.0258 - 0.4305i
0.7524 + 0.4189i
0.7524 - 0.4189i
-0.0000
0.6790
>> abs(eig(Acd))
ans =
7.9537
0.2951
0.4313
0.4313
0.8611
0.8611
0.0000
0.6790
Не удалось получить замкнутую дискретную систему, процессы в которой затухали бы не более чем за 8 тактов. Попробуем реализовать другой способ.
Назначим собственные желаемые значения при синтезе регулятора. Желаемые собственные значения выбираем из условия , когда процессы в дискретной системе близки к процессам соответствующей непрерывной системы.
Вывод: Выбором различных значений времени дискретизации Т=0.01, 0.015, 0.005 не удалось получить замкнутую линейную дискретную систему, процессы в которой затухают не более чем за 8 тактов.
Заключение
В результате курсового проектирования построенные нелинейные и линейные математические модели объекта управления. На базе линейной непрерывной модели объекта с помощью метода размещения собственных значений синтезирован регулятор состояния со следующей матрицы:
K =[ -0.2446 -14.5356 -1.5097 -0.5097 ]
Проведен синтез наблюдателя состояния и получен динамический регулятор с передаточной характеристикой:
1.683e004 s^3 + 1.623e005 s^2 - 1.346e005 s - 5.872e004
----------------------------------------------------------------------
s^4 + 110 s^3 + 4643 s^2 - 6.787e004 s - 2.548e005
Такой регулятор обеспечивает устойчивость перевернутого маятника на каретке при начальных условиях, не превышающих следующих значений:
;
начальное смещение каретки от начала
координат,
;
начальное отклонение маятника,
Синтез дискретного регулятора проведен для периода дискретности времени Т=0.01с. При этом дискретная передаточная функция регулятора имеет вид:
100.4 z^3 - 291.2 z^2 + 281.2 z - 90.38
------------------------------------------------------
z^4 - 3.086 z^3 + 3.463 z^2 - 1.712 z + 0.3329
В силу вычислительных погрешностей не удалось выбрать период дискретности
времени, при котором система была бы устойчива.
Дискретизация непрерывного регулятора на базе дискретной модели объекта, полученный для периода дискретности Т=0.015с , даёт следующую передаточную функцию динамического регулятора:
5.731e008 z^4 - 1.62e009 z^3 - 1.397e010 z^2 + 9.865e009 z - 1.51e009
-----------------------------------------------------------------------------------------
z^4 - 2.868e005 z^3 - 5.253e004 z^2 + 2.343e005 z + 5.023e-008
Этот регулятор обеспечивает следующие параметры области притяжения положения равновесия:
;
;
Задачи, поставленные перед курсовым проектом решены полностью.
Литература
Алексеев А.А.,Имаев Р.Д., и др. «Теория управления» СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2000г.
MatLab Users Quide; The MathWorks Inc. Natich MA 1997.
Беленький Ю.М., Власенко С.Ю. MicrosoftWord2000 СПб «БХВ-Петербург»