2.3 Анализ устойчивости объекта управления
Условием устойчивости линеаризованного объекта является отрицательность действительных частей собственных значений матрицы A
>>eig(A)
ans =
0
0
10.3880
-10.3880
Наличие правого собственного значения свидетельствуют о том, что верхнее положение маятника неустойчиво. Необходимо создание системы автоматического регулирования, стабилизирующей это положение. Синтез системы связан с предварительным анализом управляемости и наблюдаемости объекта.
2.4 Анализ управляемости и наблюдаемости объекта
Для анализа управляемости и наблюдаемости воспользуемся критерием Кальмана, который сводится к проверке рангов матриц управляемости и наблюдаемости.
Матрица управляемости U=[B AB A2B A3B] заполняется с помощью команды
>>U=ctrb(A,B)
U =
1.0e+003 *
0 0.0100 0 0.9810
0 -0.0100 0 -1.0791
-0.0100 0 -1.0791 0
0.0100 0 0.9810 0
Проверим ранг матрицы управляемости:
>>rank(U)
ans =
4
Матрица имеет полный ранг, следовательно, объект по этому входу (воздействие на каретку ) управляем полностью.
Составим матрицу наблюдаемости по команде V=obsv(A,C)
V =
1.0000 0 0 0
0 0 0 1.0000
0 -98.1000 0 0
0 0 -98.1000 0
Проверим ранг этой матрицы
>>rank(V)
ans =
4
Матрица наблюдаемости имеет полный ранг, следовательно, объект наблюдаем полностью по этому выходу (положение каретки)
2.5 Передаточная функция объекта управления
Получим передаточную функцию исходно нелинейной модели объекта по следующей команде
>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num =
0 0.0000 10.0000 -0.0000 -98.1000
den =
1.0000 -0.0000 -107.9100 0 0
Выведем передаточную функцию в s области.
>> printsys(num,den)
num/den =
1.4599e-014 s^3 + 10 s^2 - 2.6097e-014 s - 98.1
-----------------------------------------------
s^4 - 1.7764e-015 s^3 - 107.91 s^2
>> obiekt=tf(num,den)
Transfer function:
1.46e-014 s^3 + 10 s^2 - 2.61e-014 s - 98.1
-------------------------------------------
s^4 - 1.776e-015 s^3 - 107.9 s^
Обратим внимание на то, что получились другие матрицы в Форме Пространства Состояний, это является следствием того, что преобразование от ПФ к ФПС не является однозначным. Вычислим нули и полюса передаточной функции объекта.
>>zpk(obiekt)
Zero/pole/gain:
1.4599e-014 (s+6.85e014) (s-3.132) (s+3.132)
--------------------------------------------
s^2 (s-10.39) (s+10.39)
эта команда представляет ПФ в так называемой факторизованной форме. Заметим, что нет одинаковых нулей и полюсов ПФ. Это является необходимым и достаточным условием полной управляемости и наблюдаемости одномерного объекта.
>>zpplot(obiekt)
There are no zeros and poles.
3 Синтез регулятора
3.1 Синтез регулятора состояний
Представляет собой отрицательную обратную связь по отношению к объекту.
Уравнение системы получим, исключив из него управляющее воздействие f.
или
Матрица замкнутой системы A-BКдолжна иметь желаемые собственные значения в левой полу-плоскости.