- •Министерство Образования рф
- •1. Перевернутый маятник на каретке как объект управления
- •1.1 Описание объекта
- •1.2 Математические модели объекты управления
- •1.2.1 Нелинейные дифференциальные уравнения
- •2.3 Анализ устойчивости объекта управления
- •2.4 Анализ управляемости и наблюдаемости объекта
- •2.5 Передаточная функция объекта управления
- •3 Синтез регулятора
- •3.1 Синтез регулятора состояний
- •3.2 Метод размещения собственных значений
- •3.3 Синтез наблюдателя состояний
- •3.4 Динамический регулятор
- •3.5 Анализ системы стабилизации перевернутого маятника на каретке
- •3.5.1 Расчетный анализ
- •3.5.2 Компьютерная имитация замкнутой системы
- •4. Синтез дискретного регулятора
- •4.1 Способы синтеза
- •4.2 Дискретизация непрерывного регулятора
- •4.3 Синтез дискретного регулятора
- •4.4 Анализ замкнутой системы, образованной нелинейным непрерывным объектом
3.2 Метод размещения собственных значений
Коэффициенты регулятора упорядоченные в матрицу – строку K выбираются таким образом, чтобы матрица замкнутой системыА-ВКимела заданные собственные значения. Выберем следующие желаемые значения:
p=[-1 -2 -3 -4]`
Коэффициенты регулятора состояния вычисляются по команде:
>>K=place(A,B,p)
K =
-0.2446 -14.5356 -1.5097 -0.5097
Проанализируем, чему равны собственные значения матрицы замкнутой системы.
>>eig(A-B*K)
ans =
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
3.3 Синтез наблюдателя состояний
Регулятор состояния предполагает, что измеряются или оцениваются (вычисляются все переменные состояния). Однако, в случае нашего объекта непосредственно измеряется только переменная x - (положение каретки). Необходимо синтезировать наблюдателя состояния, позволяющего вычислять недостающие переменные состояния.
Задача синтеза наблюдателя оказывается дуальной (двойственной) по отношению к задаче синтеза регулятора состояния.
Назначим желаемые собственные значения матрицы наблюдателя таким образом, чтобы процессы в нем происходили значительно быстрее, чем в основном контуре.
>> po=[-10 -20 -30 -40]'
po =
-10
-20
-30
-40
Чем дальше от границы устойчивости, тем быстрее затухают процессы. Матрица обратной связи наблюдателя вычисляется по команде:
>> L=place(A',C',po)
L =
1.0e+003 *
0.1000
-0.6197
-6.4152
3.6079
3.4 Динамический регулятор
Динамический регулятор представляет собой объединение регулятора состояния и наблюдателя. Матрица динамического регулятора вычисляется по команде:
>> [Ar,Br,Cr,Dr]=reg(A,B,C,D,K,L)
Ar =
1.0e+003 *
-0.1000 0 0 0.0010
0.6197 0 0.0010 0
6.4127 -0.0374 -0.0151 -0.0051
-3.6055 0.0473 0.0151 0.0051
Br =
1.0e+003 *
0.1000
-0.6197
-6.4152
3.6079
Cr =
-0.2446 -14.5356 -1.5097 -0.5097
Dr =
0
Вычислим передаточную функцию:
>> [numr,denr]=ss2tf(Ar,Br,Cr,Dr)
numr =
1.0e+005 *
0 0.1683 1.6233 -1.3456 -0.5872
denr =
1.0e+005 *
0.0000 0.0011 0.0464 -0.6787 -2.5481
>> regulator=tf(numr,denr)
Transfer function:
1.683e004 s^3 + 1.623e005 s^2 - 1.346e005 s - 5.872e004
-------------------------------------------------------
s^4 + 110 s^3 + 4643 s^2 - 6.787e004 s - 2.548e005
Структура замкнутой системы показана на рис 3.1
Рис 3.1
Структура замкнутой системы
3.5 Анализ системы стабилизации перевернутого маятника на каретке
3.5.1 Расчетный анализ
В результате синтеза динамического регулятора получим замкнутую линейную систему, структурная схема которой изображена на рисунке 3.1
Вычислим матрицы уравнений замкнутой системы.
>> system=feedback(obiekt,regulator)
Transfer function:
1.46e-014 s^7 + 10 s^6 + 1100 s^5 + 4.633e004 s^4 - 6.895e005 s^3 - 3.004e006 s^2 + 6.658e006 s + 2.5e007
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
s^8 + 110 s^7 + 4535 s^6 + 8.855e004 s^5 + 8.675e005 s^4 + 4.327e006 s^3 + 1.098e007 s^2 + 1.32e007 s + 5.76e006
Вычислим собственные значения матрицы системы:
>> [Ac,Bc,Cc,Dc]=ssdata(system)
Ac =
-110.0000 -17.7148 -1.3512 -0.2068 -0.0322 -0.0051 -0.0008 -0.0002
256.0000 0 0 0 0 0 0 0
0 256.0000 0 0 0 0 0 0
0 0 64.0000 0 0 0 0 0
0 0 0 32.0000 0 0 0 0
0 0 0 0 16.0000 0 0 0
0 0 0 0 0 8.0000 0 0
0 0 0 0 0 0 2.0000 0
Bc =
0.2500
0
0
0
0
0
0
0
Cc =
0.0000 0.1563 0.0671 0.0442 -0.0205 -0.0056 0.0016 0.0029
Dc =
0
>> eig(Ac)
ans =
-40.0000
-30.0000
-20.0000
-10.0000
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
Вывод: замкнутая система имеет желаемые собственные значения.