8. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решение системы линейных алгебраических уравнений используется при расчете электрических цепей постоянного и переменного тока и при решении многих других задач.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=a_1,n+1

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=a_2,n+2

…............................................

a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n=a_n,n+1

По коэффициентам системы составляют расширенную матрицу

a₁₁ a₁₂ …a_1n a_1,n+1

a₂₁ a₂₂ … a_2n a_2,n+2 (1.1)

…..........................

a_n1 a_n2 … a_nn a_n,n+1

Одним из методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), который состоит из двух этапов.

1 этап - исключение переменных

Переменную x₁ исключают из 2, 3, … , n-го уравнения . Переменную x₂ исключают из 3, … , n-го уравнения и т.д. Наконец, переменную x_n-1 исключают из n-го уравнения.

Для исключения, допустим, переменной x_k из i-го уравнения, необходимо сначала определить множительный коэффициент C=a_ik/a_kk , как отношение элементов k-го столбца, расположенных в i-ой и k-ой строках. Далее каждый элемент i-ой строки изменяется путем вычитания соответствующего элемента k-ой, умноженного на коэффициент С, т.е.

a_ij=a_ij-a_kj*C.

В результате таких преобразований элемент a_ik получит значение 0, а остальные элементы изменятся.

В процессе исключения переменных изменяются элементы расширенной матрицы, и она приобретает следующий вид:

a₁₁ a₁₂ …a_1n a_1,n+1

0 a^[1]₂₂ … a^[1]_2n a^[1]_2,n+2

….......................... (1.2)

0 0 … a^[n-1]_nn a ^n-1]_n,n+1

В квадратных скобках указано количество преобразований элементов расширенной матрицы.

2 этап - нахождение корней системы

По элементам последней строки матрицы (1.2) можно найти значение

. Значение корня x_n используется для нахождения значения x_n-1 по элементам (n-1)-ой строки и найденные корни x_k+1, x_k+2, … , x_n будет найдено как

В работе используйте кнопку метод Гаусса, счетчик и поле для ввода n – количества неизвестных. Матрицу коэффициентов расположите на листе Excel. Зарезервируйте два массива. В первый массив копируете матрицу, во втором выполняете исключение очередного неизвестного, а затем заменяете первую матрицу. Корни уравнения выводите на лист Excel.

Решите следующую систему уравнений:

2x₁+3x₂+7x₃+6x₄=1

3 x₁+5 x₂+3 x₃+ x₄=3

5 x₁+3 x₂+ x₃+3 x₄=4

3 x₁+3 x₂+ x₃+6 x₄=5

9. Приближенные методы решения систем алгебраических уравнений

Наиболее распространенным приближенным методом решения является метод Зейделя. Суть метода заключается в том, что каждое уравнение разрешается относительно своей k-ой переменной и это значение считается новым приближением этой переменной, т.е.

О собенностью этого метода является то, что для нахождения используют уже уточненные значения Разность между двумя соседними приближениями запоминается в элементах массива T_k=-|. Процесс поиска заканчивается, если все значения T_k окажутся меньше некоторой малой величины .

В работе используйте кнопку – метод Зейделя, счетчик и поле для ввода n – количество неизвестных, поле для ввода . Матрицу коэффициентов располагаете на листе Excel. Корни уравнения выводите на лист Excel. Начальное приближение задаете в ячейках листа.

Решите следующую систему уравнений:

2x₁+3x₂+7x₃+6x₄=1

3 x₁+5 x₂+3 x₃+ x₄=3

5 x₁+3 x₂+ x₃+3 x₄=4

3 x₁+3 x₂+ x₃+6 x₄=5

Литература Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская и др. «Численные методы». Высшая школа 1976г.