5.Решение системы лин.Неравенств.Понятие о многоугольнике и многограннике.Реш.Зад.Лп

Линейные неравенства и системы линейных неравенств с одним неизвестным

Под линейными неравенствами понимают неравенства вида

ax+b>0, ax+b<0, ax+b≥0, ax+b≤0,

где a и b - действительные числа (a/=0) .

Линейные неравенства решают заменой исходного неравенства ему эквивалентным. При этом используются следующие преобразования неравенств, приводящие к эквивалентным неравенствам: прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа и умножение (деление) обеих частей неравенства на одно и то же число. Так, множество решений неравенства

ax+b>0 (1)

может быть найдено следующим образом:

Прибавим к обеим частям неравенства (1) число −b , в результате чего получим эквивалентное неравенство

ax>−b (2)

и разделим обе части неравенства на a. Тогда:

1) Если a>0, то получаем неравенство

x>−ab,

которое и дает множество решений исходного неравенства (1). Это множество решений также можно записать в виде

x∈(−ab;+∞)

2) Если a<0, то получаем неравенство

x<−ab

Множество действительных чисел, удовлетворяющих этому неравенству, и есть множество решений исходного неравенства (1):

x∈(−∞;−ab)

Аналогичным образом могут быть найдены решения любых линейных неравенств.

Множество решений системы двух линейных неравенств

ax+b>0, cx+d>0

находится как пересечение множеств решений этих неравенств.

Решить систему неравенств — значит найти множество всех значений неизвестного, при которых выполняется (справедливо) каждое неравенство системы. Для этого находят множество решений каждого неравенства системы в отдельности, а затем находят общую часть всех полученных множеств, т. е. все те числа, которые входят в каждое из этих множеств.

6.Свойства решений зад.Лп.Пониятие о вып.Лин-й комбинации и вып.Множестве

Пусть имеется т-точек(векторов) n-мерного пространства,т.А явл.их выпуклой комбинацией если вып.усл-я

Множество точек наз-я выпукл-и если вместе с люб.двумя св.точками оно содерж.их произв-ю выпукл-ю комбин-ю.

Угловыми точками вып.множ-аназ.точки не явл.выпуклой комбинацией двух других точек множества

Т1.Множ-о всех планов задачей лп явл.выпуклым если оно не пусто

Т2.Целеваяфу-я задачи лп достигает своего min(max)знач-я в<точке многогранника решений,коорд.кот сост.опорн.план задач.

.7.

Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. Для решения ЗЛП существует универсальный метод – метод последовательного улучшения плана или симплекс-метод, который состоит из двух вычислительных процедур: симплекс-метода с естественным базисом и симплекс-метода с искусственным базисом (М-метод).

Выбор конкретной вычислительной процедуры осуществляется после приведения исходной ЗЛП к каноническому виду (КЗЛП):

В теории линейного программирования (ЛП) показано, что оптимальное решение ЗЛП связано с угловыми (крайними) точками многогранника решений, которым отвечают опорные планы (неотрицательные базисные решения системы уравнений КЗЛП). Каждый из опорных планов определяется системой m линейно независимых векторов, содержащихся в данной системе из n векторов А1, А2,…, Аn. Верхняя граница количества опорных планов, содержащихся в данной задаче, определяется числом сочетаний Сnm.