Анализ нелинейной системы

По заданной структурной схеме системы автоматического управления построить её фазовый портрет методом припасовывания. По фазовому портрету выполнить анализ системы автоматического управления и определить её устойчивость.

И

K₁

F(_)

K₃

₁



₂

сходные данные

φ’

T₀=2.8 _ср=0.5

K

-b

₀



₀=111.5 U_max=110

K

b

₁=0.82 b=_ср /K₁

K₂=9.5

K₃=0.0045

Упростим схему. Для этого в заданной стуктурной схеме проведем преобразования с целью разделения в два звена линейную и нелинейную части данной системы.

W(p)

F(₁-₂)

₁



₂

₃

где W(p) – эквивалентная передаточная функция всех линейных звеньев системы.

F(₁-₂) – эквивалентная статическая характеристика всех нелинейных элементов.

;

Решение системы методом припасовывания

По определению W(p)= ₂/₃ , следовательно

W(p)· ₃ = ₂;

₃ = F(₁-₂);

₂ = W(p)·F(₁-₂).

Зная линейную часть преобразуем уравнения:

, где K=К₀К₁К₂К₃

.

Будем считать входное воздействие ₁ системы постоянным, тогда перейдем от величины ₂ к её приращению относительно постоянного воздействия ₁.

Обозначим ₂ - ₁ = x

px = p₂ - p₁;

px = p_2.

С учетом замечаний для приращений получим:

Решение данного уравнения будет строиться исходя из заданной нелинейности. В данном случае нелинейной частью системы является трехпозиционное реле (статическая характеристика дана выше).

В соответствии с системой запишем уравнение, с учетом того, что функция является нечетной, т.е. симметрична относительно начала координат.

Пусть px=V, тогда система приобретет вид:

Найдем решение каждого из уравнений системы по очереди:

1) .

Т.к. изначально система выведена в точку фазовой плоскости М₀ с координатами (x₀,V₀) , то интегрирование будет: от x₀ до x ; от V₀ до V.

2)

Решение аналогично.

3)

- отрезок прямой для интервала

Все уравнения получены. Построим фазовый портрет.

Пусть первая точка будет M₀(0,7;0,5). Первое уравнение имеет вид:

для x > 0.61

Вторая точка будет М₁(0,61;-1,17). Второе уравнение имеет вид:

для –0.61 ≤ x ≤ 0.61

Третья точка будет М₂(-0,61;-0,73249). Третье уравнение имеет вид:

для х < -0.61

Четвертая точка будет М₃(-0,61;0,72159), тогда четвертое уравнение имеет вид:

Пятая первая точка будет M₄(0,61;0,2865). Пятое уравнение имеет вид:

для x > 0.61

Шестая точка будет М₅(0,61;-0,26274). Шестое уравнение имеет вид:

для –0.61 ≤ x ≤ 0.61

Последнее уравнение пересекает ось абсцисс в интервале (-0,61;0,61) в точке М₆(-0,1763;0), следовательно все уравнения для фазового портрета найдены и с этого момента система блуждает с нулевой скоростью и неопределенностью по координате от -0,61 до +0,61, это состояние эквивалентно состоянию устойчивости.

По фазовому портрету можно сделать следующие выводы: анализируемая нелинейная система устойчива и по характеру процесса в системе – переходный процесс быстро затухает.

По заданной структурной схеме составим принципиальную схему системы автоматического регулирования температуры: