1.3 Построение структурной схемы блока автоматизированного управления доставкой породы на отвал

На основе полученной функциональной схемы, задав численное значение сигналов, построим структурную схему системы.

u(p) x(p) Q(p) P(p) y(p)

–

e(p)

W₁(p) – передаточная функция бункера; W₂(p) – передаточная функция затвора с приводом; W₃(p) – передаточная функция вагонетки с лебёдкой; W₄(p) - передаточная функция датчика.

Рисунок 3 - Структурная схема блока автоматизированного управления доставкой породы на отвал

Структурная схема системы автоматического управления отражает прохождение и преобразование сигналов в звеньях системы управления.

Передаточная функция бункера

где

Получаем передаточную функцию бункера

Передаточная функция затвора с приводом

где

где

Получаем передаточную функцию затвора с приводом

Передаточная функция вагонетки с лебёдкой

Получаем передаточную функцию вагонетки с лебёдкой

Передаточная функция затвора с приводом

,

где

Получаем

1.4 Преобразование структурной схемы блока автоматизированного управления доставкой породы на отвал

Применяя правила преобразования структурных схем, упростим схему, изображенную на рисунке 3, преобразовав последовательно соединенные звенья:

–

Рисунок 4 – Вид 1 структурной схемы

Преобразовав последнюю схему, получим окончательное выражение для передаточной функции всей системы:

Используя программу MathCad для преобразования функций, получим выражение вида:

1.5 Определение устойчивости линейной части системы по критерию Гурвица

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительными.

По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица. Характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции:

Выпишем коэффициенты характеристического уравнения:

Для нахождения определителя по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго, затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим индексом.

Составленный определитель называется главным определителем Гурвица, он имеет порядок совпадающий с порядком характеристического уравнения. Из главного определителя составляются частные определители первого, второго, третьего и так далее порядков их образования из главного определителя.

Вычисляя главный определитель и частные определители, Гурвиц установил, для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители были положительны. Если хотя бы один определитель отрицательный, то система неустойчива.

Определитель Гурвица и миноры для данного характеристического уравнения:

Вывод: миноры Δ5 и Δ6 меньше нуля, следовательно, система неустойчива.

1.6 Определение устойчивости линейной части системы по критерию Михайлова

Критерий Михайлова позволяет по годографу судить об устойчивости замкнутой системы. Годограф имеет действительную U(ω) и мнимую V(ω) оси, на которых откладываются соответственно действительные и мнимые значения передаточной функции W(jω) в зависимости от частоты. Критерий Михайлова можно сформулировать следующим образом: САУ будет устойчива, если при изменении частоты от 0 до +∞ вектор D(jω) начав движение из точки, лежащей на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в 0, обходит последовательно n квадрантов комплексной плоскости, n – степень характеристического уравнения.

В уравнении (12) заменим p=jω и выделим его вещественную и мнимую части:

Вычислим особые точки и построим по ним годограф:

при ω = 0

U(ω) = 0, jV(ω) = -1.445·10¹¹

при ω = 22.17

U(ω) = -6.6·10⁹ , jV(ω) = 0

Рисунок 5 – Годограф Михайлова

Вывод: система не устойчива.

1.7 Построение переходного процесса системы

Переходная функция - это реакция системы на ступенчатое входное воздействие.

Для того чтобы построить переходный процесс, используем обратное преобразование Лапласа от функции вида

Рисунок 6 – График переходного процесса

Анализируя график, можно судить о том, что полученная линейная система неустойчива, поэтому характеристики определить нельзя.

1.8 Построение амплитудно-частотной характеристики линейной части системы

АЧХ строиться для того, чтобы определить косвенные оценки качества системы.

Для того, чтобы определить АЧХ системы, необходимо в передаточной функции W(p) заменить р на jω, знаменатель уравнения помножить на сопряженное выражение, выделить мнимую и вещественную части по формулам определить АЧХ:

где - действительная часть передаточной функции;

- мнимая часть передаточной функции.

Используя прикладную программу MathCAD вычислим АЧХ. График АЧХ изображен на рисунке 7.

ω,c^-1

Рисунок 7 – Амплитудно-частотная характеристика линейной части

системы

Определим по графику косвенные оценки качества системы:

- амплитуда при нулевой частоте A(0)=0.0667

- максимальная амплитуда А_max=0.0667

- резонансная частота w_p=0

- полоса пропускания (промежуток частот, при котором значения амплитуды больше 0.047 ) w₂= 19

1.9 Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазо-частотной характеристики линейной части системы

ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся для того, чтобы определить запасы устойчивости.

Используя прикладную программу MathLAB, построили графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, по которым мы можем сделать вывод, что наша система не устойчива. Запасы устойчивости определить нельзя, потому что ЛАЧХ не пересекает 0⁰, а ЛФЧХ не пересекает -180⁰.

-40 дБ/дек

+40 дБ/дек

-20 дБ/дек

0 дБ/дек

ω₁ ω₂ ω₃

Рисунок 8 – ЛАЧХ и ЛФЧХ линейной части системы

По аппроксимированной ЛАЧХ запишем передаточную функцию:

Получаем

2 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

1. Структурная схема блока автоматизированного управления доставкой породы на отвал с нелинейным элементом

Добавим в схему нелинейный элемент NLE с нелинейной характеристикой идеальное двухпозиционное реле. Полученная схема приведена на рисунке 9, статическая характеристика элемента – на рисунке 10.

u(p) x(p) Q(p) P(p) y(p)

–

e(p)

Рисунок 9 – Структурная схема блока автоматизированного управления доставкой породы на отвал с нелинейным элементом

Рисунок 10 – Статическая характеристика нелинейного элемента

В реальных объектах данная характеристика конструктивными мерами может быть смешена вверх, вниз, влево, вправо. Такой характеристикой обладают идеальные электромагнитные реле, электрические компараторы.

2. Преобразование структурной схемы нелинейной системы

По правилам преобразования структурных схем преобразуем нелинейную систему (рисунок 11):

–

Рисунок 11 - Вид 1 структурной схемы нелинейной системы

Уберём из полученной схемы обратную связь и рассмотрим только последовательно соединённые линейную часть системы и нелинейный элемент.

Рисунок 12 - Вид 2 структурной схемы нелинейной системы

Используя программу MathCad для преобразования функций, получим выражение вида:

3. Построение фазового портрета

Передаточная функция линейной системы есть или

Подставляя в формулу значение передаточной функции получим:

Приведенную формулу можно записать в виде:

Воспользуемся пакетом MathCad для решения этого дифференциального уравнения.

Введем замену и исключим из правой части уравнения производную:

Для того чтобы построить фазовый портрет, необходимо, чтобы степень числителя и знаменателя не превышала вторую степень, поэтому элементы выше второй степени исключаем. Следовательно, получим:

Так как в качестве нелинейного элемента используется идеальное двухпозиционное реле со статической характеристикой, представленной на рисунке 10, то подставляя значение для двух участков, получим систему:

Создадим матрицу для решения дифференциального уравнения в программе MathCad:

(18)

Зададим матрицы для двух начальных условий:

,

Возьмем количество точек равным 1000 и конечное время интегрирования 200, то матрица решений запишется как:

Построим фазовый портрет:

Рисунок 13 - Фазовый портрет нелинейной системы

Построим переходные процессы нелинейной системы.

t,c

Рисунок 14 – Переходный процесс нелинейной системы

На рисунке 13 представлен фазовый портрет нелинейной системы. Из графика видно, что при различных начальных условиях система будет оставаться устойчивой (траектории сходятся в точке (0;0)). Устойчивость системы подтверждает график переходного процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе данной курсовой работы, был рассмотрен блок автоматизированного управления доставкой породы на отвал. Были получены функциональная и структурная схемы системы. Исследована линейная и нелинейная части системы.

В ходе исследования линейной системы, была получена передаточная функция, по которой были построены переходный процесс и амплитудно-частотная характеристика, которые свидетельствовали о том, что линейная система неустойчива. Также система оказалась неустойчивой по критериям Гурвица и Михайлова.

Нелинейная система была получена путем введения нелинейного элемента с заданной статической характеристикой. В ходе исследования полученной системы был построен фазовый портрет – сходящаяся в точке (0;0) кривая. Следовательно, при введении нелинейного элемента типа идеального двухпозиционного реле, система стала устойчивой, что подтверждает график переходного процесса.