курсовая работа / Kurs11

Анализ линейной САУ

По заданной структурной схеме системы управления вычислить эквивалентную передаточную функцию разомкнутой и замкнутой системы. Построить АФЧХ разомкнутой и замкнутой системы. Исследовать устойчивость по одному из критериев. Определить запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе. Построить переходный процесс системы методом трапеций, по переходному процессу провести анализ качества управления и определить все его показатели. При необходимости дать рекомендации методов улучшения этих параметров.

x_вх x_вых

K_c

Рис. 1 – Структурная схема

Исходные данные:

K_e = 0.56;

K_U = 198;

K₀ = 0.43;

T_d = 0.2;

T_m = 0.34;

T₀ = 0.58;

C_e = 0.036;

j_p = 218.

1. Вычислим эквивалентную передаточную функцию разомкнутой и замкнутой системы.

;

;

;

Упростим данное выражение

;

Введем новые переменные

получим следующее выражение

Построим АФЧХ, для этого заменим p = j

Преобразуем выражение и выделим вещественную и мнимую часть

АФЧХ разомкнутой системы имеет следующий вид

Передаточная функция замкнутой системы

Упростим выражение

;

Построим АФЧХ, для этого заменим p = j

;

Преобразуем выражение и выделим вещественную и мнимую часть

АФЧХ замкнутой системы имеет следующий вид

Рис. Общий вид.

Рис. Участок вблизи нуля

Для определения устойчивости системы воспользуемся критерием Гурвица

Критерий Гурвица: для того чтобы система управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство а₀ > 0, а все определители Гурвица были положительными.

Характеристическое уравнение имеет вид:

()

или

введем обозначение

с₀ = b₁;

c₁ = b₂;

c₂ = b₃;

c₃ = a₁T₀+1;

c₄ = a₁.

Условие устойчивости с₀ >0; с₁ >0; с₂ >0; с₃ >0; с₄ >0.

Определим определители Гурвица

c₀ = 0.039 > 0;

c₁ = 0.381 > 0;

c₂ = 50.501 > 0;

c₃ = 9.194 > 0;

c₄ = 14.128 > 0;

= 0.381

= 18.888

= 171.616

= 2425

Используем графический метод Михайлова для определения устойчивости

Заменим p на j в выражении ()

выделим реальную и мнимую часть

Система будет устойчивой, если при возрастании частоты  от 0 до  вектор D(j) повернется на угол , где n – степень уравнения D(p) = 0, или, что то же самое, если характеристическая кривая при изменении частоты  от 0 до , начиная с положительной действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки n квадрантов.

На рис. Х приведена характеристическая кривая. Степень уравнения D(p) = 0 равна n = 4, как видно из рисунка характеристическая кривая последовательно проходит 4 квадранта и в 4 квадранте уходит в бесконечность, что соответствует устойчивой системе.

Используя два критерия устойчивости, критерий Гурвица и критерий Михайлова, определили что система является устойчивой.

Определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

Для этого построим ЛАХЧ и ФЧХ

;

Подставим численные значения

Рис. ЛАЧХ

ФЧХ определяется по следующей формуле

;

Рис. ФЧХ

Рис. ЛАЧХ и ФЧХ

Из данного графика определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе

 = 0,7446 при данной частоте L() = 0;

Запас по фазе равен  = -48,868

 = 35,551 при данной частоте  = -180

Запас по амплитуде равен L() = 20 log (h) = -35.259  h = 0.017

Построим переходный процесс методом трапеции

Для этого построим график вещественной частотной характеристики

1

2

3

4

рис.

Разобьем вещественную частотную характеристику на трапециевидные частотные характеристики