Задача 1

Найти переходную функцию звена с передаточной функцией

Решение

Нам задано апериодическое звено первого порядка. Перепишем передаточную функцию звена в виде:

,

где – коэффициент усиления данного звена;

– постоянная времени.

Для данного звена коэффициенты

, .

Переходная функция звена будет иметь вид:

Построим зависимость переходной функции звена от времени.

Рис. 2 – Зависимость переходной функции звена от времени.

Задача 2

Передаточная функция динамического звена равна

Построить логарифмические амплитудную L(ω) и фазовую φ(ω) характеристики звена при k=400 сек^-1 для Т=5 мсек

Решение

Подставив числовые значения в передаточную функцию, выражение примет вид:

Для построения логарифмической амплитудной частотной характеристики находится величина: L(ω)=20lg|W(jω)|=20lgA(ω). Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – 1000 раз и так далее.

Если бы A(ω) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части должен был бы стоять множитель 10. Так как A(ω) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и выходной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов, и т.п.), то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению отношений мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части стоит множитель 20.

Найдем логарифмическую амплитудную характеристику системы:

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) имеет излом в точке с частотой , состоит из двух участков: проведенного c высоты 20lg400=52 с наклоном – 20дб/дек. Т.к. - символ или оператор дифференцирования находится в знаменателе, то логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) убывает на -20дб/дек, участок с наклоном -40дб/дек.

Для построения ЛАЧХ и логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) используется стандартная сетка. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, то есть наносятся отметки, соответствующие lgω (рад/сек.)

Главным достоинством ЛАЧХ является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляетсяя в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАЧХ может быть найдена суммированием ординат ЛАЧХ, соответствующих отдельным сомножителям. Результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической ЛАЧХ, представляет собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20дб/дек.

Построим ЛФЧХ, ЛФЧХ начинается с -90 и уходит в -180, т. к. р находится в знаменателе.

Рис. 4 – Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ), Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ)