курсовая работа / kursovaya_rabota_po_discipline_optimalnye_i_adaptivnye_siste

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Автоматика и управление в технических системах»

Курсовая работа по дисциплине

Оптимальные и адаптивные системы управления

Вариант 4

Проверил: Вохрышев В.Е.

Самара 2010

Содержание

2. Синтез оптимального управления методом АКАР 4

2.1. Синтез с использованием линейной агрегированной макропеременной 5

2.2. Синтез с использованием нелинейной агрегированной макропеременной 7

3. Моделирование системы в MathCAD 10

4. Заключение 16

5. Список литературы 17

Объект управления задан следующей передаточной функцией:

W(p) = ;

Для выполняемого варианта курсовой работы параметры объекта имеют следующие значения:

T1 = 4; T2 = 1; T3 = 5; K = 5;

1. По заданной передаточной функции объекта синтезировать методом АКАР управление, выбрав в качестве агрегированной макропеременной линейную комбинацию фазовых координат.

2. Разработать цифровую модель системы в среде МСАD, исследовать систему методом цифрового моделирования, выполнить параметрическую оптимизацию управления.

3. Выполнить пункт 2 задания с учетом ограничений расходов на управление и фазовую координату Х4.

Для выполнения работы сначала выполнить все расчеты и моделирование, положив ψ в виде линейной комбинации фазовых координат, а φ(ψ)=ψ. В критерии принять m=c=1. Затем положить ψ=th(F(x­_i)+x₄), i=1,3; F(x_i)=k1x₁+k2x₂+x₃, а φ(ψ)=ψ.

На фазовой плоскости совместить полученные графики при моделировании для двух случаев. Во временной области вывести управление и фазовые координаты, выполнив при необходимости их масштабирование. Провести анализ полученных результатов.

Граничные условия Х(0)=(20,0,0); Х(∞)=(0,0,0).

2. Синтез оптимального управления методом АКАР

Подставим заданные параметры в выражения для передаточной функции объекта управления:

W(p) = ==

=;

Согласно определению передаточной функции, принимая за Y(p) изображение по Лапласу выходного сигнала, за U(p) - изображение по Лапласу входного сигнала, справедливо следующее выражение:

W(p) == =>

X(p)·() = 5U(p);

На основе данного выражения получим следующее дифференциальное уравнение: 20+29 + 10 + = 5u(t);

Представим данное дифференциальное уравнение в виде системы:

Критерий качества образуем при помощи следующего сопровождающего функционала:

J = ;

В данном выражении ψ(x) –агрегированная макропеременная.

2.1. Синтез с использованием линейной агрегированной макропеременной

В выражении сопровождающего функционала вначале примем ψ(x) как линейную функцию:

ψ(x1, x2, x3, x4) = k1·x1 + k2·x2 + k3·x3 + x4;

Ее первая производная имеет следующий вид:

= k1·x2 + k2·x3 + k3·x4 + 0,25·u - 1,45·x4 - 0,5·x3 - 0,05·x2 =

=(k1 - 0,05)·x2 + (k2 - 0,5)·x3 + (k3 – 1,45)·x4+ 0,25·u ;

Примем φ(ψ)=ψ, c=m=1. Тогда после подстановки сопровождающий функционал примет следующий вид:

J=;

Синтезируем закон оптимального по данному критерию управления. Для этого воспользуемся вторым универсальным соотношением метода АКАР:

U(t) = ==

===;

Полученный закон управления переводит объект из произвольного состояния в окрестность ψ=0. Получим теперь систему дифференциальных уравнений, описывающих движение изображающей точки вдоль ψ=0:

ψ=0= k1·x1 + k2·x2 + k3·x3 + x4 => x4 = - k1·x1 - k2·x2 - k3·x3;

Подставим данное выражение в первые (n-1) уравнений системы, описывающей объект управления. В результате получим:

Данную систему можно представить в виде одного дифференциального уравнения относительно x1_ψ:

+ k3·+ k2·+ k1· x1_ψ = 0; (*)

Для решения данного дифференциального уравнения составим следующее характеристическое уравнение:

λ ³ + k3· λ² + k2· λ + k1 = 0;

Чтобы получить значения коэффициентов, при которых движение устойчиво, воспользуемся критерием устойчивости Гурвица. Определитель Гурвица в этом случае будет иметь следующий вид:

Δ = = ;

Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны:

Δ₁ =k3 > 0;

Δ₂ == k3·k2 - 1·k1 > 0;

Δ₃ ==0+0+k1·(k3·k2 - 1·k1) > 0;

Обобщая полученные неравенства, получаем следующие условия для выбора значений коэффициентов характеристического уравнения:

k3 > 0; k2 > 0; k1 > 0; k3·k2 > k1;

Выберем теперь значения коэффициентов, удовлетворяющие данным условиям. Для удобства вычислений выберем коэффициенты так, чтобы можно было легко найти корни характеристического уравнения:

k1 = 1; k2 = 3; k3 = 3; =>

λ ³ + 3 λ² + 3 λ + 1 = 0; => (λ + 1) ³ = 0; => λ_1,2,3 = -1;

Общее решение дифференциального уравнения (*) имеет следующий вид:

x1(t) = C₁·e ^λ1·t + C₂·t·e ^λ2·t + C₃·t ² ·e ^λ3·t ;

Подставив в данное выражение полученные корни характеристического уравнения, получим:

x1(t) = C₁·e ^-t + C₂·t·e ^-t + C₃·t ² ·e ^-t ;

2.2. Синтез с использованием нелинейной агрегированной макропеременной

В выражении сопровождающего функционала теперь примем за ψ(x) функцию следующего вида:

ψ(x1, x2, x3, x4) = th(k1·x1 + k2·x2 + k3·x3) + x4;

Первая производная данной функции будет иметь следующий вид:

= + 0,25·u - 1,45·x4 - 0,5·x3 - 0,05·x2;

Примем φ(ψ)=ψ, c=m=1. Тогда после подстановки сопровождающий функционал примет следующий вид:

J=;

Аналогично предыдущему расчету синтезируем закон оптимального по данному критерию управления:

U(t) = ==

===;

Данный закон управления также переводит объект из произвольного состояния в окрестность ψ=0. Как и в предыдущем случае получим систему дифференциальных уравнений, описывающих движение изображающей точки вдоль ψ=0:

ψ=0= th(k1·x1 + k2·x2 + k3·x3) + x4 => x4 = - th(k1·x1 + k2·x2 + k3·x3);

Подставим данное выражение в первые (n-1) уравнений системы, описывающей объект управления:

Представим данную систему в виде одного дифференциального уравнения относительно x1_ψ:

+ th(k3·+ k2·+ k1· x1_ψ )= 0;

Однако в данном случае полученное уравнение нелинейно за счет функции гиперболического тангенса. Заменим эту функцию на ее приближенное значение и подставим в полученное дифференциальное уравнение:

th(x) ≈ x =>

+ k3·+ k2·+ k1· x1_ψ = 0; (**)

Полученное в данном случае уравнение (**) представляет собой уравнение (*), полученное в предыдущем пункте. Следовательно, его решение так же соответствует решению уравнения (*):

x1(t) = C₁·e ^-t + C₂·t·e ^-t + C₃·t ² ·e ^-t ;

Произведем теперь моделирование заданной системы в MathCAD.

3. Моделирование системы в MathCAD

_{Реализация первого способа:}

_Рис.3.1

_{Реализация второго способа:}

_Рис.3.2

_{Сравнение полученных разными способами результатов:}

Рис.3.3 Сравнение скорости изменения функции

Рис.3.4 Сравнение изменения ускорения

Рис.3.5 Сравнение изменения производной третьего порядка

Рис.3.6. Сравнение изменения выходной координаты

_Рис.3.7. Сравнение управляющих сигналов

_{Рис 3.9}

_{Рис 3.10}

4. Заключение

При построении модели системы с использованием различных агрегированных макропеременных был выявлен наиболее эффективный способ оптимального по критерию наибольшего быстродействия управления.

Так управление, синтезированное с использованием линейной агрегированной макропеременной несколько быстрее приводит координаты в установившееся значение (см. рис 3.7), чем управление с использованием нелинейной макропеременной.

5. Список литературы

1. Колесников А.А. «Синергетическая теория управления»;

2. «Современная прикладная теория управления. Часть 2 – Синергетический подход» под ред. Колесникова А.А.