Реализация математической модели аналоговой системы в координатах вход-выход и в координатах состояния с помощью пакетов MatLab, MathCad.
Для реализации модели в пространстве вход-выход достаточно найти передаточную функцию всей системы, с регулятором и обратной связью. Опять с помощью правил преобразования получаем передаточную функцию системы:
Для реализации модели в пространстве состояний используем синтезированную ранее структурную схему с введёнными дополнительными переменными состояния:
рис. 4
Матрицы состояний соответственно:
Приступим к непосредственной реализации систем.
Листинг программы MatLab
t=0:0.005:1; k0=4.037; k1=2.72; k2=2; a0=0.033; a1=0.78;
T1=0.045; T2=0.735;
%1-Система заданна структурной схемой
%Передаточные функции отдельных звеньев
w1=tf([k1],[1 0]);
w2=tf([k2],[1]);
w3=tf([k0],[a0]);
w4=tf([1],[1 0]);
w5=tf([a1],[a0]);
w6=tf([1],[1 0]);
w7=tf([1],[a0]);
%Вычисляем передаточную функцию системы
w45=feedback(w4,w5);
w456=series(w45,w6);
w4567=feedback(w456,w7);
w34567=series(w3,w4567);
w12=parallel(w1,w2);
w1234567=series(w12,w34567);
w_sys1=feedback(w1234567,1);
% 2-Система заданная моделью в пространстве состояний
A=[0 0 -2.721; 89.72 -22.2 -179.44; 0, 1.36, -1.36;];
B=[2.721; 179.44; 0];
C=[0 0 1]; D=[0];
w_sys2=ss(A,B,C,D);
%Графики переходных характеристик
[y1,t]=step(w_sys1,t);
[y2,t]=step(w_sys2,t);
plot(t, y1, t, y2), grid
legend('y1',...
'y2')
xlabel('Time,t'), ylabel('y1,y2')
Результат программы на рис.5, графики полностью совпадают.
Листинг программы в MathCad:
Исходные
данные и данные полученные при упрощении
цепи
Расчёт
системы в координатах вход-выход
Передаточная
функция звеньев цепи
Передаточная
функция регулятора
Передаточная
функция всей системы
Расчёт системы в координатах состояния
Результат программы на рис. 6, графики полностью совпадают.
рис. 5
рис. 6
Синтез цифровой системы по аналоговой модели, построение структурной схемы новой системы.
Для синтеза цифровой системы по аналоговой модели, найдём z-изображения передаточных функций каждого звена.
Используем пакет MatLab:
%Нахождение z-изображений динамических звеньев
w1=tf([1.36], [1 0]);
w2=tf([8.17], [0.045 1]);
w3=tf([1],[0.735 1]);
'D(z)'
Wp1=c2d(w1+1,0.002,'zoh')
'TF1(z)'
Wp2=c2d(w2,0.002,'zoh')
'TF2(z)'
Wp3=c2d(w3,0.002,'zoh')
Результат:
D(z)
Transfer function:
z - 0.9973
----------
z - 1
Sampling time: 0.002
ans =
TF1(z)
Transfer function:
0.3552
----------
z - 0.9565
Sampling time: 0.002
ans =
TF2(z)
Transfer function:
0.002717
----------
z - 0.9973
Sampling time: 0.002
>>
Время квантования должно быть достаточно малым, по сравнению с инерционностью исходной аналоговой системы. Так как в исходной системе наименьшая постоянная времени равна 0.045, то и выбран столь малый шаг квантования. Это значение было в дальнейшем проверено экспериментально – бОльшая величина приводила к выходу из заданного диапазона перерегулирования.
Таким образом, можно составить структурную схему эквивалентной цифровой системы (рис. 7).
рис. 7
Необходимо заметить, что пакет MatLab выдал значения постоянных с округлением до четырёх значащих цифр после запятой. Этого оказалось недостаточно для точного моделирования, система опять не укладывалась в 5%-ное ограничение по перерегулированию. По этому константы были вычислены вручную, и заменены в знаменателях.
Результат моделирования цифровой системы в приложении Simulink (рис. 8 - 10):
рис.
8
рис. 9
рис. 10
На рисунке 9 дан снимок с встроенного в Simulink осциллографа, по нему можно сделать вывод о нормальном прохождении переходного процесса. На рисунке 10 дан увеличенный снимок – можно видеть, что несмотря на потери точности при округлении данных, система осталась в 5%-ном диапазоне перерегулирования.
Таким образом, можно считать синтез цифровой системы успешным. Сравнение полученного переходного процесса с переходным процессом аналоговой системы будет сделано ниже.