3.3 Вывод по исследованию нелинейной системы
На участке 0 – 1 координата x растет, а координата ν уменьшается. В точке 1 координата x достигает максимального значения.
На участке 1 – 2 координата x уменьшается. В точке 2 координата ν принимает значение, равное 0.
На участке 2 – 3 координата x растет, а координата ν уменьшается. В точке 3 координата x достигает максимального значения.
На участке 3 – 4 координата x уменьшается. В точке 4 координата ν принимает значение, равное 0.
На участке 4 – 5 координата x растет, а координата ν уменьшается. В точке 5 координата x достигает максимального значения.
На участке 5 – 6 координата x уменьшается. В точке 6 координата ν принимает значение, равное 0.
Характер фазового портрета таков, что фазовые траектории приближаются к нулю. Следовательно, можно сделать вывод, что система устойчива.
4 Исследование дискретной системы
4.1 Z-преобразование
Рисунок 15 - Упрощенная схема дискретной системы
Введём вынужденную обратную связь:
Рисунок 16 - Итоговое преобразование дискретной САУ
Передаточная функция непрерывной части системы:
Передаточная функция дискретной части системы:
где Т = 0,06 – период дискретизации (шаг квантования)
Примем обозначение е-Тр=z, получим:
Находим изображение переходной характеристики
и разлагаем ее на простые дроби:
Находим обратное преобразование Лапласа:
Из временной функции получим импульсную и найдем Z-преобразование.
Введём замену t=n·T, где Т = 0,06 – период дискретизации (шаг квантования):
Z-преобразованная передаточная функция непрерывной части будет иметь вид:
Заменим дискретную часть Z-преобразованной и получим передаточную функцию дискретной системы:
4.2 Определение устойчивости дискретной системы по критерию Шур-Кона
Определим устойчивость дискретной системы по критерию Шур-Кона с помощью Matchad.
В соответствии с критерием Шур-Кона
система будет устойчивой, если определители
для чётных k и определители
для нечётных k.
Определители Шур-Кона составляются из коэффициентов характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение дискретной системы имеет вид:
(47)
Выпишем коэффициенты характеристического уравнения:
a1=-9, a2=34, a3=-79, a4=115, a5=-113, a6=74, a7=-31, a8=7.6, a9=-0.83.
Составим определители:
Посчитаем данные определители с помощью Matchad:
∆1=-1.689,
∆2=5.408,
∆3=-186,
∆4=-2433.
Видно что при чётных k -
,
следовательно, система неустойчива.
4.3 Переходный процесс дискретной системы
Используя математический редактор MathCAD, построим переходный процесс системы:
h(n)=9.36·10-5·(22.74+7·10-19·i)n-6.7·10-22·i·(22.74+7·10 -19·i)n +8·10-5(1.5-2.4·i)n--5.92·10-5·i(1.5-2.4·i)n. (52)
h(nT)
nT
Рисунок 17 - График переходного процесса дискретной системы
4.4 Билинейное преобразование дискретной системы
Билинейное преобразование отображает внутренность единичного круга на плоскости z в левую полуплоскость плоскости w. Для перехода к нему выполним подстановку:
После подстановки передаточная функция имеет следующий вид:
