2.5 Переходный процесс линейной системы и определение показателей качества

Используя математический редактор Matlab, построим переходный процесс системы по передаточной функции (2).

A(w)

t, с

Рисунок 6 - Переходный процесс системы

2.6 Построение ачх линейной системы и определение показателей качества

Используя математический редактор MathCAD, построим амплитудно-частотную характеристику системы.

Заменим в уравнении (3) :

(30)

(31)

ω₂

A_max

A₀

A(w)

w, Гц

ω_p

A_max

ω₁

Рисунок 7 - Амплитудно–частотная характеристика линейной системы

Определение показателей качества:

А₀ = 0;

А_max = 285;

резонансная частота = 0,2, Гц;

показатель колебательности ;

полоса пропускания = 201,525

2.7 Построение лачх и определение запасов устойчивости

Используя математический редактор MATLAB, построим ЛАЧХ системы.

>> w=tf([48746880],[1,6 4,9 18 35 40 34 22 7,5 1])

Transfer function:

48746880

-----------------------------------------------------------------------------------------

1,6 s^8 + 4,9 s^7 + 18 s^6 + 35 s^5 + 40 s^4 + 34 s^3 + 22 s^2 + 7,5 s +1

>> bode(w)

∆L

∆φ

L(w), Дб

φ(w), deg

w, рад/с

Рисунок 8 - ЛАЧХ Линейной системы

∆L=150^о

∆φ=-520^о

2.8 Аппроксимация лачх и определение передаточной функции

w, рад/с

Рисунок 9 - Аппроксимация ЛАЧХ линейной системы системы

Передаточная функция аппроксимированной ЛАЧХ имеет вид

(32)

С учетом коэффициентов выражение (32) примет вид:

(33)

2.9 Вывод по исследованию линейной системы

В ходе исследования линейной системы была получена передаточная функция системы. Определили, что система является устойчивой по критериям устойчивости Гурвица, Михайлова и Евсюкова. Построили переходный процесс и АЧХ системы, определили показатели качества. При помощи математического редактора MATLAB построили ЛАЧХ системы и определили запасы устойчивости.

3 Исследование нелинейной системы

3.1 Преобразование системы

U₁(t)

U₁(t)

U₁(t)

U₁(t)

U₁(t)

U(t)

Y(t)

Рисунок 10 - Функциональная схема САУ с нелинейным элементом

Функциональная схема состоит из следующих элементов:

ЗТ – заквасочный танк для производства сыра;

ВС – ванна сыродельная;

ФА – формовочный аппарат для производства сыра;

П – пресс для сыра;

УП – Установка для посола.

Н.Э. – нелинейный элемент.

График, описывающий нелинейный элемент приведен на рисунке 11.

Рисунок 11 - Cтатическая характеристика нелинейного элемента

Применяя правила преобразования структурных схем, упростим схему, изображенную на рисунке 10.

W_общ (p)

Н.Э.

Рисунок 12 – Структурная схема нелинейной системы

Введем вынужденную обратную связь.

Рисунок 12 - Итоговое преобразование САУ с нелинейным элементом

. (34)

С учетом всех преобразований W_общ (p) примет вид:

(35)

3.2 Построение фазового портрета нелинейной системы

Передаточная функция есть или , (27)

где -передаточная функция линейной системы;

Подставляя в формулу (7) значение передаточной функции получим:

Приведенную формулу можно записать в виде:

(29)

Введем замену и и исключим из правой части уравнения производную:

Для того чтобы построить фазовый портрет, необходимо, чтобы степень числителя и знаменателя не превышала вторую степень, поэтому элементы выше второй степени исключаем. Тогда получим:

(31)

(32)

Так как в качестве нелинейного элемента используется реле со статической характеристикой, то подставляя значение для трех участков, получим систему уравнений:

(33)

Создадим матрицу для решения дифференциального уравнения.

Зададим матрицы для трех начальных условий:

(34)

Возьмем количество точек равным 1000 и конечное время интегрирования 1, то матрица решений запишется как:

(37)

Построим фазовый портрет нелинейной системы :

ν

Рисунок 13 - Фазовый портрет нелинейной системы

h(t)

t

Рисунок 14 - Переходный процесс нелинейной системы