3 Исследование нелинейных систем
3.1 Преобразование системы
U(t)
y(t)
Рисунок 9 - Функциональная схема САУ с нелинейным элементом
График, описывающий нелинейный элемент приведен на рисунке 10.
Рисунок 10 - Релейная статическая характеристика
Применяя правила преобразования структурных схем, упростим схему, изображенную на рисунке 9:
y(t)
U(t)
Рисунок 11 - Упрощенная схема нелинейной системы
Введем вынужденную обратную связь:
y(t)
U(t)
-
Рисунок 12 - Итоговое преобразование САУ с нелинейным элементом
С учетом всех преобразований Wобщ (p) примет вид:
3.2 Построение фазового портрета
Передаточная
функция есть
или
, (48)
где W(p)-передаточная функция линейной системы;
Подставляя в формулу (48) значение передаточной функции получим:
Степени больше второй оказывают небольшое влияние на систему в целом, поэтому мы можем ими пренебречь.
Приведенную формулу можно записать в виде:
Введем
замену
и
:
Исключим из правой части уравнения производную, получим:
Перенесем у2 влево:
Так
как в качестве нелинейного элемента
используется реле с однозначной
статической характеристикой с зоной
нечувствительности, то подставляя
значение
для трех участков, получим систему
уравнений:
(54)
Создадим матрицу для решения дифференциального уравнения.
Зададим матрицы для трех начальных условий:
Возьмем количество точек равным 1000 и конечное время интегрирования 200, то матрица решений запишется как:
(57)
Построим фазовый портрет:
ν
0’
0
0’’
2, 2’, 2’’
1’
1
1’’
x
Рисунок 13 - Фазовый портрет нелинейной системы
h(t)
t, c
2’, 2’’
2
1
1’
1”
Рисунок 14 - Переходный процесс нелинейной системы
3.3 Вывод по исследованию нелинейной системы
На участке 0 – 1 координата x растет, а координата ν уменьшается. В точке 1 координата x достигает максимального значения.
На участке 1 – 2 координата x уменьшается. В точке 2 координата ν принимает значение, равное 0.
На участке 0` – 1` координата x растет, а координата ν уменьшается. В точке 1` координата x достигает максимального значения.
На участке 1` – 2` координата x уменьшается. В точке 2` координата ν принимает значение, равное 0.
На участке 0`` – 1`` координата x растет, а координата ν уменьшается. В точке 1`` координата x достигает максимального значения.
На участке 1`` – 2`` координата x уменьшается. В точке 2`` координата ν принимает значение, равное 0.
Характер фазового портрета таков, что фазовые траектории приближаются к нулю. Следовательно, можно сделать вывод, что система устойчива.