16. Векторное произведение в ортонормированном репере
Даны
векторы
,
,
т.е.
,
Векторное произведение ортов (см. табл.)
Тогда
=(
)(
)=
=
=
.
. (8.10)
17. Геометрический смысл векторного произведения:
1) Площадь
параллелограмма.
– формула площади параллелограмма.
– модуль векторного
произведения по определению.
Тогда
.
Площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
как на сторонах, равна модулю векторного
произведения этих векторов.
,
2) Площадь
треугольника:
.
Площадь
треугольника, построенного на векторах
и
как на сторонах, равна половине модуля
векторного произведения этих векторов.
Пример 2. Вычислим площадь грани АВС тетраэдра DАВС, если А(1;2;1), В(4;1;2), С(1;5;3), D(2;3;1).
Решение.
.
Найдем координаты
и
,
на которых построен треугольник АВС,
как на сторонах:
(4–1;1–2;2–1),
(1–1;5–2;3–1), тогда
(3;–1;1),
(0;3;2).
Вычислим векторное
произведение
и его длину:
(–5;–6;9),
|
|=
,
(кв.ед.).
Механический
смысл
векторного произведения: Моментом силы
относительно точки О
называется вектор
,
имеющий начало в точке О,
направленный перпендикулярно к плоскости,
определяемой точкой О
и вектором
.
Длина вектора равна произведению длины
вектора
на плечо h
– перпендикуляра, опущенного из точки
о на направление вектора
)
или
,
где
– радиус-вектор точки приложения силы
.
18. Двойное векторное произведение
Определение 30.
Двойным
векторным произведением
называется вектор
.
Пример 3..
Вычислить двойное
векторное произведение
(1;3;5),
(–1;–2;0),
(0;4;3).
,
.
Свойства двойного векторного произведения (со скалярным):
1.
=
(8.11)
2.
3.
тождество Якоби.
19. Смешанное произведение векторов
Рассмотрим
векторно-скалярное произведение векторов
,
и
,
составленное следующим образом:
.
Первые два вектора умножаются векторно,
а их результат на третий вектор скалярно.
Такое произведение называется
векторно-скалярным, или смешанным,
произведением трех векторов.
Определение 31.
Смешанным
(векторно-скалярным) произведением трех
векторов
,
и
называется
число
,
полученное в результате векторного
произведения векторов
и
,
умноженного скалярно на вектор
.
Обозначение: 
=
(8.12)
Из определения
следует:
,
или
,
или
,
то
(самостоятельно)
Пример 4. Вычислим смешанное произведение ортов (по определению).
.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не зависит от порядка векторного и скалярного умножения, т.е. не изменится при перестановке знаков умножения.
=
(8.13)
Доказательство.
=
,
=
,
причем одного знака, так как тройки
,
,
и
,
,
– обе правые. Значит,
=
.
Отсюда,
=
.
Это свойство позволяет записывать смешанное произведение векторов без знаков векторного и скалярного умножения.
2. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке множителей:
(8.14)
Доказательство.
1)
;
2) если тройка векторов
,
,
– правая, то тройки
,
,
и
,
,
– тоже правые.
3. Смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановке двух множителей:
,
,
(8.15)
Доказательство. самостоятельно
1)
;
2) если тройка векторов
,
,
– правая, то тройки
,
,
– левые.
4.
Если (
)0,
то тройка векторов
,
,
– правая; если (
)0,
то тройка векторов
,
,
– левая.
5. Теорема.
Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны
(8.16)
Доказательство.
1) Дано:
.
Докажем, что векторы
,
,
компланарны.
=SH=0
а)S=0
или б)Н=0.
а)S=0
,
коллинеарны
,
,
компланарны;
б)Н=0
,
где
,
,
компланарны.
2) Дано: векторы
,
,
компланарны. Докажем, что
.
=0
.
Теорема доказана.
6.
Условие
компланарности трех векторов: (
)=0.