- •Раздел 2. Элементы векторной алгебры
- •10. Проекции вектора
- •11. Скалярное произведение Основные понятия и определения
- •Свойства скалярного произведения векторов:
- •12. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе
- •Вычисление длины вектора и угла между векторами
- •14. Ориентация пространства. Правая и левая тройки веторов
- •15. Векторное произведение: определение, свойства
- •Свойства векторного произведения
- •16. Векторное произведение в ортонормированном репере
- •17. Геометрический смысл векторного произведения:
- •18. Двойное векторное произведение
- •19. Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения
- •20. Геометрический смысл смешанного произведения
- •21. Смешанное произведение в ортонормированном базисе
- •Приложения произведений векторов
Раздел 2. Элементы векторной алгебры
Лекция 8. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Вопросы.
-
Векторная и числовая проекции вектора на ось, вектор.
-
Скалярное произведение: определение, свойства.
-
Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе. Геометрический и механический смысл скалярного произведения. Вычисление длины вектора и угла между двумя векторами.
-
Орт вектора. Направляющие косинусы вектора в V2 и V3. Соотношение, связывающее направляющие косинусы вектора в V2 и V3.
-
Ориентация пространства. Правая и левая тройки векторов. Правило правого винта.
-
Векторное произведение: определение и свойства (Антикоммутативность, дистрибутивность. Векторное произведение коллинеарных векторов).
-
Векторное произведение векторов в ортонормированном базисе.
-
Геометрический и механический смысл векторного произведения. Вычисление площадей параллелограммов и треугольников.
-
Двойное векторное произведение трех векторов и его свойства.
-
Смешанное произведение трех векторов. Определение, свойства.
-
10. Проекции вектора
Определение 24.
Векторной проекцией вектора на ось (вектор) называется вектор, начало и конец которого есть соответственно проекции начала и конца данного вектора на данную ось в заданном направлении (в направлении проектирования, заданном плоскостью).
Числовой (скалярной) проекцией вектора на ось или вектор называется скалярная величина .
Это есть абсолютная величина векторной проекции, взятая со знаком плюс или минус в зависимости от угла между векторами. Проекция:
положительна (),
отрицательна (),
нулевая ().
11. Скалярное произведение Основные понятия и определения
Определение 25.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
(8.1)
Из определения следует:
1) (2), где – угол между и .
2) условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: если векторы перпендикулярны (ортогональны), то =0
Свойства скалярного произведения векторов:
1. . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Доказательство по определению (самостоятельно)
2. =. Скалярное произведение коммутативно.
Доказательство по определению (самостоятельно)
3. . Для скалярного произведения справедлив дистрибутивный закон.
Доказательство по определению (самостоятельно)
4. . Для скалярного произведения справедлив сочетательный закон относительно скалярного множителя.
Доказательство по определению (самостоятельно)
5. Если =0, то угол , если >0, то угол , если <0, то угол .
6. =. (8.2)
Доказательство по определениям скалярного произведения и проекции вектора на вектор (самостоятельно)
12. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе
Пусть дан базис и векторы и координатами:
, т.е. ,
, т.е.
Вычислим скалярное произведение, предварительно вычислив скалярное произведение ортов:
-
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Тогда =()()=
==
=.
Таким образом, =. (8.3)
Вывод. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в декартовой системе координат, равно сумме произведений одноименных координат.
Примечание. Формула справедлива только в ортонормированном базисе .