Скачиваний:
51
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
1.14 Mб
Скачать

Лекция №3 Анализ линейных систем автоматического управления при

детерминированных и случайных воздействиях

Как всякая динамическая система, система автоматического управления может находиться в одном из двух режимов - стационарном (установившемся) и переходном. В настоящей и следующей главах будут рассмотрены стационарные режимы. Существуют два вида таких режимов САУ - статические и динамические.

Статический стационарный режим (статика) - это режим, при котором система находится в состоянии покоя вследствие того, что все внешние воздействия и параметры самой системы не меняются во времени.

Динамический стационарный режим возникает, когда приложенные к системе внешние воздействия изменяются по какому-либо установившемуся закону, в результате чего система приходит в режим установившегося вынужденного движения.

Стационарные динамические режимы, в свою очередь, бывают двух типов. Первый - детерминированный динамический стационарный режим - это режим, при котором на систему действует детерминированное (регулярное) стационарное воздействие. Примером такого режима является установившийся гармонический режим, описываемый рассмотренными выше частотными характеристиками.

Второй режим - это стационарный случайный режим. Он является установившимся в статистическом смысле и имеет место, когда приложенные к системе воздействия представляют собой случайные, но стационарные функции времени.

Статический режим статических систем

Режим работы САУ, в котором управляемая величина и все промежуточные величины не изменяются во времени, называется

установившимся, или статическим режимом. Любое звено и САУ в целом в данном режиме описывается уравнениями статики вида y = F(u,f), в которых отсутствует время t. Соответствующие им графики называются статическими характеристиками. Статическая характеристика звена с одним входом u может быть представлена кривой y = F(u) (рис. 13). Если звено имеет второй вход по возмущению f, то статическая характеристика задается семейством кривых y = F(u) при различных значениях f, или y = F(f) при различных u.

Зная статические характеристики отдельных звеньев, можно построить статическую характеристику САУ (рис.17, 18). Если все звенья САУ линейные, то САУ имеет линейную статическую характеристику и называется линейной. Если хотя бы одно звено нелинейное, то САУ нелинейная.

Звенья, для которых можно задать статическую характеристику в виде жесткой функциональной зависимости выходной величины от входной, называются статическими. Если такая связь отсутствует и каждому значению входной величины соответствует множество значений выходной величины, то такое звено называется астатическим. Изображать его статическую характеристику бессмысленно

Уравнение статики САУ получается из уравнения динамики: x =W3 ( p) f ,

где

W3 ( p) = Wfx ( p) , 1+W ( p)

если подставить в него р = 0, что соответствует постоянству всех переменных, т. е. равенству нулю их производных. В результате имеем следующее уравнение:

 

x

=W (0) f

 

=

 

Wfx (0)

f

 

.

(2-1)

 

 

 

 

 

Здесь xст

ст

3

ст

 

1 +W (0)

ст

 

 

— статическое приращение

 

выходной величины САУ,

вызванное приращением внешнего воздействия fñò .

 

В случае статической системы в выражении (2-1)

 

W (0) = k

и Wfx (0) = k fx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

так как знаменатели передаточных функции всех звеньев, входящих сомножителями в выражения W (р) и Wfx (р), при р= 0 обращаются в единицу.

В результате выражение (2-1) принимает вид:

 

 

x

 

=

k fx

f

 

.

(2-2)

 

 

 

1 +k

 

 

n

ст

 

 

ст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

k =W (0) = ki

-

коэффициент

передачи разомкнутой системы,

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

предварительно приведенной

к

одноконтурному виду, он равен

произведению коэффициентов передачи всех её звеньев; k fx =Wfx (0) -

коэффициент передачи участка системы от места приложения воздействия f до места нахождения выходной величины х. Величина kfx, следовательно, определяет статическую зависимость между х и f при разомкнутом контуре системы, т. е. при отсутствии управления.

Выражение (2-2) определяет статическое отклонение выходной величины САУ, вызванное установившимся приращением внешнего воздействия f в произвольной точке системы. Из этого выражения следует, что замыкание системы автоматического управления приводит к уменьшению статической зависимости х от f в (1 + k) раз. Таким образом, для уменьшения этой зависимости надо увеличивать коэффициент передачи системы k.

Из выражения (2-2) величина статического отклонения х, приходящаяся на единицу воздействия f, равна

δ

 

=

x

=W (0) =

 

k fx

.

(2-3)

ст

ст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fст

3

1

+k

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта величина является мерой статической точности системы и называется статизмом.

Статическое и астатическое регулирование

Если на управляемый процесс действует возмущение f, то важное значение имеет статическая характеристика САУ в форме y = F(f) при yo = const. Возможны два характерных вида этих характеристик (рис. 19). В соответствии с тем, какая из двух характеристик свойственна для данной САУ, различают статическое и астатическое регулирование.

Статические регуляторы работают при обязательном отклонении ε регулируемой величины от требуемого значения. Это отклонение тем больше, чем больше возмущение f. Это заложено в принципе действия регулятора и не является его погрешностью, поэтому данное отклонение называется статической ошибкой регулятора.Чтобы уменьшить статическую ошибку надо увеличивать коэффициент передачи регулятора. Того же результата можно добиться, увеличивая коэффициент передачи объекта управления.

Статизм δ САР, характеризует насколько сильно значение регулируемой величины отклоняется от требуемого значения при действии возмущений, и равна тангенсу угла наклона статической характеристики,

построенной в относительных единицах:

δ =tg (α)=

y

yн

(рис.22), где y =

 

 

f

fн

 

yн, f = fн - точка номинального режима САУ. При достаточно больших значениях Kp имеем δ 1/Kp.

В некоторых случаях статическая ошибка недопустима, тогда переходят к астатическому регулированию, при котором регулируемая

величина в установившемся режиме принимает точно требуемое значение независимо от величины возмущающего фактора. Статическая характеристика астатической САУ не имеет наклона (рис.19в). Возможные неточности относятся к погрешностям конкретной системы и не являются закономерными.

Достоинства и недостатки статического и астатического регулирования: статические регуляторы обладают статической ошибкой; астатические регуляторы статической ошибки не имеют, но они более инерционны, сложны конструктивно и более дороги.

Динамические режимы САУ

Установившийся режим не является характерным для САУ. Обычно на управляемый процесс действуют различные возмущения, отклоняющие управляемый параметр от заданной величины.

Процесс установления требуемого значения управляемой величины называется регулированием. Ввиду инерционности звеньев регулирование не может осуществляться мгновенно.

Рассмотрим САР, находящуюся в установившемся режиме, характеризующемся значением выходной величины y = y0. Пусть в момент t = 0 на объект воздействовал какой - либо возмущающий фактор, отклонив значение регулируемой величины. Через некоторое время регулятор вернет САР к первоначальному состоянию (с учетом статической точности) (рис.24). Если регулируемая величина изменяется во времени по апериодическому закону, то процесс регулирования называется апериодическим.

При резких возмущениях возможен колебательный затухающий процесс (рис.25а). Существует и такая вероятность, что после некоторого времени Тр в системе установятся незатухающие колебания регулируемой

величины - незатухающий колебательный процесс (рис.25б). Последний вид - расходящийся колебательный процесс (рис.25в).

Таким образом, основным режимом работы САУ считается динамический режим, характеризующийся протеканием в ней переходных процессов. Поэтому второй основной задачей при разработке САУ является анализ динамических режимов работы САУ.

Поведение САУ или любого ее звена в динамических режимах описывается уравнением динамики y(t) = F(u,f,t), описывающее изменение величин во времени. Как правило, это дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. Поэтому основным методом исследования САУ в динамических режимах является метод решения дифференциальных уравнений. Порядок дифференциальных уравнений может быть довольно высоким, то есть зависимостью связаны как сами входные и выходные величины u(t), f(t), y(t), так и скорости их изменения, ускорения и т.д. Поэтому уравнение динамики в общем виде можно записать так: F (y, y, y′′,..., y(n),u,u,u′′,...,u(m), f , f , f ′′,..., f (k ))=0

А. Стационарный режим САУ при гармоническом воздействии

В этом режиме выходная величина системы х приходит в вынужденное колебание с частотой, равной частоте внешнего воздействия. Амплитуда и фаза колебаний х определяются известными нам частотными характеристиками замкнутой системы, т. е. в стационарном режиме, вызванном воздействием

f = fмакс sinωt,

выходная величина системы

x = xмакс sin(ωt +ϕ),

где

xмакс =

 

W3 ( jω) fмакс

 

;

ϕ = argW3 ( jω).

 

 

Таким образом, гармонический стационарный режим САУ определяется ее частотными характеристиками, которые были рассмотрены в первой главе.

Б. Стационарный динамический режим САУ при воздействиях, изменяющихся с постоянной производной

В этом случае практически имеются в виду воздействия, изменяющиеся с постоянной скоростью v, когда f = vt, и с постоянным ускорением а, когда f = at2/2.

Для общности рассмотрения будем считать, что воздействие

изменяется с постоянной k-й производной

fуст(k )

= pk f . Выходная величина

системы

 

 

 

 

 

 

W

 

( p)

 

 

W

 

( p) f (k )

 

 

 

 

 

 

 

fx

 

 

fx

 

 

x =W ( p) f =

 

 

 

 

 

f =

 

 

 

 

 

уст

.

 

 

1+W ( p)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

+W ( p) pk

Установившееся значение хуст найдем по-прежнему подстановкой в это

выражение для х значения р = 0, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

=

 

 

Wfx ( p)

 

 

 

 

f (k ) .

 

 

 

 

 

(2-10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1

+W

( p)] pk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уст

 

 

 

уст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из выражения (2-10) видно, что в статической системе, у которой W (0)

= k, a Wfx (0) = kfx, хуcт=∞ при любом k≠0 из-за наличия множителя рk в знаменателе, т. е. в статической системе при непрерывно возрастающем

воздействии выходная величина х тоже непрерывно возрастает. Этот результат очевиден и из ранее полученного соотношения (2-2), согласно которому в статической системе установившееся отклонение х пропорционально воздействию.

В. Стационарные случайные воздействия

Стационарные случайные воздействия f(t) вызывают соответственно стационарные случайные изменения выходной величины х(t) системы автоматического - управления (если последняя, разумеется, тоже стационарна). Найдем связь между характеристиками процессов f(t) и х(t) на входе и выходе системы.

В общем случае случайное воздействие f(t) состоит из среднего значения mf (t) и центрированной случайной части f° (t), т. е.

f (t) =mf (t) + f 0 (t).

Соответственно может быть представлена и выходная величина системы:

x(t) = mx (t) + x0 (t).

Для линейной системы на основании принципа суперпозиции каждая из этих двух составляющих х (t) может быть определена порознь: тх (t) — как реакция на mf (t), а x0(t) — как реакция на f0 (t).

Средние значения mf (t) и тх (t) являются неслучайными величинами и связаны через передаточную функцию системы, т. е.

m(t) =W3 ( p)m j (t).

(3-28)

В частности, для стационарного случайного процесса mf (t) и соответственно тх (t) представляют собой постоянные величины. Поэтому связь между ними определяется по уравнению статики системы, как показано

в § 2-2, т. е.

 

mx =W3 (0)mf .

(3-29)

Перейдем теперь к определению центрированной стационарной случайной величины х0 (t) по f0(t).

Входное воздействие f0(t) может быть задано либо корреляционной функцией Rf0 (τ), либо спектральной плотностью Sf0 (ω). Эти характеристики могут быть получены, в частности, в результате обработки экспериментально снятых кривых f0(t).

Выходная величина х0 (t) также может быть охарактеризована функциями Rx0 (τ) или Sx0(ω).

Определим связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями на входе и выходе системы. Начнем с корреляционных функций.

Чтобы получить искомое выражение для корреляционной функции выходной величины

Rx (τ) = M [x(t)x(t +τ)]

по корреляционной функции входного воздействия, воспользуемся связью между входной и выходной величинами системы через, ее весовую функцию w (t). Согласно (1-30а),

x(t) = w(τ1 ) f (t τ1 )dτ1.

(3-30)

0

Перепишем это выражение для х (t + τ ), введя новую независимую, переменную τ2:

x(t +τ ) = w(τ2 ) f (t +τ τ2 )dτ2 .

0

Тогда входящее в Rx(τ) произведение

x(t)x(t +τ) = w(τ1 ) f (t τ1 )dτ1 w(τ2 ) f (t +τ τ2 )dτ1dτ2 = ∫∫w(τ1 )w(τ2 ) f (t τ1 ) f (t +τ τ2 )dτ1dτ2 .

0 0 0 0

Отсюда корреляционная функция как среднее значение этого выражения

Rx (τ) = ∫∫w(τ1 )w(τ2 ) f (t τ1 )Rf (t +τ1 τ2 )dτ1dτ2 .

(3-31)

0 0

 

Получили искомое выражение, связывающее Rx (τ) с Rf (τ) через весовую функцию w (t) системы. Чтобы пояснить смысл этого выражения, представим его в следующем виде:

 

 

Rx (τ) = w(τ2 ) f (t τ1 ) y(τ τ2 )dτ2

;

 

0

 

(3-32)

 

 

 

y(τ) = w(τ1 ) f (t τ1 )Rf (t +τ1 )dτ1.

 

 

 

0

 

 

Отсюда видно, что корреляционная функция Rx (τ) процесса на выходе системы получается двукратным взятием интеграла Дюамеля (интеграла свертки) от корреляционной функции Rf (τ) входного воздействия.

Выражения (3-31) и (3-32) определяют связь между Rf (τ) и Rx (τ) в интегральной форме. Ее можно представить и в дифференциальной форме через передаточную функцию системы в следующем виде:

Rx (τ) =W3 ( p)W3 (p)Rf (τ).

(3-33)

Это выражение непосредственно вытекает из (3-32), так как интегральной зависимости (3-30) между входом и выходом системы эквивалентна зависимость через передаточную функцию:

x(t) =W3 ( p) f (t).

Соответственно двукратной зависимости (3-32) эквивалентно произведение передаточных функций в выражении (3-33). Передаточная функция W3 (—р) соответствует второму уравнению (3-32), где по сравнению с выражением (3-30) вместо τ 1 стоит — τ 1. Формально это означает изменение направления течения времени и, следовательно, изменение знака у производных, т. е. знака оператора р в соответствующей передаточной функции.

Выведем теперь выражение, связывающее спектральные плотности входной и выходной величин системы, т. е. рассмотрим связь между частотными характеристиками этих сигналов.

Для этого подставим найденное выше выражение (3-33) для Rx (τ) в формулу (3-21) для Sx (ω), т. е. проведем над этим выражением преобразование Фурье. В результате получим

Sx (ω) =W3 ( jω)W3 (jω)S f (ω) =

 

W3 ( jω)

 

2 S f (ω),

(3-34)

 

 

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

S

(ω) = A2

(ω)S

f

(ω).

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, спектральная плотность стационарного случайного процесса на выходе системы равна спектральной плотности входного воздействия, умноженной на квадрат амплитудной частотной функции системы.

Когда все случайные воздействия, приложенные к системе, являются либо возмущениями, т. е. помехами, либо задающими воздействиями, теоретически соответствующим выбором передаточной функции можно обеспечить любую точность системы.

Однако в случае, когда к системе одновременно приложены оба вида воздействий, т. е. как возмущения, так и задающие воздействия, существует оптимальное выражение для передаточной функции системы, однозначно определяемое спектральными плотностями внешних воздействий и обеспечивающее минимум дисперсии Dx, меньше которого она не может быть сделана, если не выходить из рамок линейных систем. Таким образом, в этом случае не всякие требования по точности могут быть практически реализованы в линейной САУ. Поэтому, если эти требования достаточно жестки, задача синтеза системы должна решаться как задача обеспечения минимума дисперсии выходной величины и определения соответствующей оптимальной передаточной функции системы.

Покажем вначале, что в рассматриваемом случае действительно существует минимум Dx. Если привести возмущение f к точке приложения задающего сигнала х3, система примет вид, изображенный на рис. 3-5, а. Дисперсия выходной величины соответственно с принципом суперпозиции при взаимной независимости х3 и f

Dx = (Dx )x3 +(Dx ) f .

Здесь первая составляющая (Dx)x3 определяет погрешность изменения величины х в соответствии с заданием х3 при отсутствии f, а вторая составляющая (Dx)f — погрешность, вызванную отклонением х от задания под действием возмущения f.

На рис. 3-5, б приведены в качестве иллюстраций примерные графики обеих составляющих и полной дисперсии Dx в функции полосы пропускания системы ωп, для случая, когда спектр возмущения является белым, т. е. мощность равномерно распределена по всем частотам (рис. 3-5, в). С увеличением полосы пропускания ωп системы величина (Dx)x уменьшается вследствие улучшения условий прохождения сигнала х3. При этом особенно существенно

РИС

уменьшается (Dx)x3, пока полоса пропускания системы еще уже полосы частот, занимаемой спектром Sx3 (ω). Дисперсия (Dx)f при этом, наоборот, возрастает, так как увеличивается та часть спектра возмущения, которая проходит на выход системы. Полная дисперсия Dx имеет минимум при определенной полосе пропускания ω п.опт системы. Величина ω п.опт уменьшается при увеличении уровня возмущения Sf (см. пунктирные кривые 2 и 3 на рис. 3-5, б). Соответственно при этом возрастает минимум Dx.

Если спектр Sf (ω) начинается не с нулевой, а с некоторой конечной частоты ω 1 (пунктирная кривая 4 на рис. 3-5, в), кривая (Dx)f на рис. 3-5, б начинается не с начала координат, а с этой частоты, и оптимальное значение ω п (точка ω п4 на рис. 3-5, в) будет лежать между этим значением ω 1 и максимальной частотой спектра Sx3 (ω), причем тем ближе к последней, чем ниже уровень возмущения.

Также между концом спектра Sx3 (ω) и началом спектра Sf(ω) будет находиться оптимальное значение ω п (точка ωп5 на рис. 3-5,В), если последний спектр начинается правее конца спектра Sx3(ω) (пунктир 5 на рис. 3-5, б), т.е. если оба спектра не имеют общей части.

Соседние файлы в папке lekciy_po_upravleniyu_v_biologicheskih_i_medicinskih_sistema