лекции / lekciy_po_upravleniyu_v_biologicheskih_i_medicinskih_sistema / lek_8

Лекция № 8 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В БИОЛОГИИ

Теория управления имеет дело не с реальными объектами, а с их описаниями, называемыми моделями. Предполагается, что описание объекта (иногда говорят – системы) дается в виде некоторого количества стандартных элементов, связанных между собой. Заданную таким образом систему будем называть моделью реального объекта. При этом сама теория управления вовсе не занимается проблемой построения моделей; считается, что эта проблема лежит вне компетенции теории управления, хотя некоторые оценки степени соответствия модели объекту могут быть даны и в рамках теории управления. Действующие на объект внешние факторы принято называть входными воздействиями или входными сигналами (входами), а ее реакции − выходными сигналами (выходами).

В биологических системах будем различать два типа входных сигналов – возмущающие и задающие. Задающие сигналы определяют некоторые требования, которые биологическая система должна выполнить. Остальные входные сигналы, в том числе определяющие условия, в которых функционирует система, относятся к возмущающим. На рис. 1 задающие входные сигналы обозначены через ω1 , ω2 , …, ωn , возмущающие – через

υ1 , υ2 , …, υl . Символами y1 , y2 , …, yr обозначены выходные переменные.

Одна и та же реально существующая величина в зависимости от желания исследователя и выбранного им способа описания системы может выступать в качестве различных сигналов в модели. Так, при исследовании системы кровообращения в организме часто в качестве выходной переменной выбирают артериальное давление. Величины, характеризующие другие системы организма и меняющиеся в процессе решения (например, величина легочной вентиляции), играют в этом случае роль возмущающих сигналов. Задающим входом в модели системы кровообращения, построенной в соответствии со схемой классического типа, является специальный опорный сигнал − уставка. При описании же реакций системы дыхания (на вдыхание углекислоты) легочная вентиляция играет уже роль выходного сигнала, входным сигналом является концентрация углекислоты во вдыхаемом воздухе. Если в ходе исследования меняются переменные в других системах (то же артериальное давление), то они будут выступать в качестве внешнего возмущающего сигнала.

Рисунок 1. Входные и выходные сигналы системы. а) ω1 , ω2 , …, ωn − задающие входы, υ1 , υ2 , …,

υl – возмущающие входы; y1 , y2 , …, yr − выходы; б) сигналы показаны обобщенно; ω, υ и y – векторы размерности n, l и r соответственно.

При описании биосистем с помощью математических моделей переменные и параметры биосистемы являются переменными и параметрами описывающих ее уравнений.

Современные способы изображения биологических систем в виде графических схем ведут свое происхождение, с одной стороны, от традиционных изобразительных методов, используемых в биохимии, физиологии и других биологических дисциплинах, и, с другой, от структурных схем, получивших в свое время широкое распространение для программирования аналоговых вычислительных машин.

1

Применяемые в настоящее время схемы во многом сохраняют точность и строгость, присущие схемам аналогового моделирования, но при этом не предназначены для узких целей исследования систем с помощью тех или иных вычислительных средств, а имеют общий смысл наглядного представления структурных свойств и особенностей исследуемых моделей.

Для получения схемы моделирования какого-либо процесса или системы требуется их математическое описание. Такое описание объектов часто дается в форме дифференциальных уравнений k-го порядка, разрешенных относительно старших производных, т. е.

…, xi(k −1) − производные xi по z от первого до (k – 1)-го порядка.

Систему уравнений (1) всегда можно представить в виде системы уравнений первого порядка.

Для этого достаточно ввести новые переменные

Тогда уравнения (1) принимают вид

Вместе с системой уравнений (2) уравнение (3) и представляет собой систему, составленную из km уравнений первого порядка.

Поэтому всегда можно считать, что исследуемая система описывается уравнениями

вида

i =1,2,...,m.

Если независимой переменной z является время t, то система дифференциальных уравнений (4), переписанная в виде

2

называется динамической системой.

Динамические системы описывают протекание физических, химических, биологических явлений и процессов во времени. Если уравнения приведены к виду (4) или (5), то говорят, что они представлены в так называемой нормальной форме Коши. Решение системы (5) при некоторых ограничениях на вид функций fi полностью определяется

значениями функций x1 , x2 , …, xm в некоторый момент времени t0 , которые называются

начальными условиями системы (5). Начальные условия обычно записываются следующим образом:

x1(t0 ) = x10 ,

.....................

xm (t0 ) = xm0 .

Переменные x1 , x2 , …, xm в (5) называются иногда фазовыми координатами

системы. Задание совокупности фазовых координат определяет состояние системы в текущий момент времени.

Графические схемы, используемые для описания структуры системы, должны с той или иной степенью полноты отражать связи между ее фазовыми координатами.

Рисунок 1. Символы, используемые в схемах моделирования. В левом столбце – обозначения наиболее часто используемые в схемах моделирования, в правой − обозначения, применяемые для программирования аналоговых вычислительных машин. а) суммирование (или вычитание); б) умножение (или деление), во втором случае на схеме желательно указывать делимое и делитель; в) интегрирующее звено; г) нелинейное преобразование; д) постоянные коэффициенты.

3

Схема моделирования является строгим графическим отражением уравнений системы. Символы, используемые для отдельных элементов, должны быть стандартизированы, а все элементы структуры должны иметь один и тот же уровень детализации. Обычно при построении схем моделирования исходят из описания систем в нормальной форме Коши и используют набор стандартных обозначений элементов, показанный на рис. 1. Схема моделирования строится следующим образом: каждой фазовой координате ставится в соответствие один интегрирующий элемент (интегратор), а затем с помощью стандартных символов графически изображаются связи между интеграторами согласно правым частям уравнений (5). В различных областях, где применяются схемы моделирования, формулируется ряд специфических требований, более жестко регламентирующих способы изображения систем. Мы этих требований придерживаться не будем. В наших схемах мы будем использовать, в основном, элементы, приведенные в первом столбце рис. 1, хотя будем применять обозначение интегратора в любой из двух возможных форм – в виде прямоугольника или в виде треугольника.

Пример. Изобразим блок-схему и схему моделирования для простой динамической системы. Возьмем описание элемента кровеносного сосуда в форме так называемого эластичного резервуара. Пусть переменная х описывает количество крови, находящееся в данном отрезке сосуда – резервуаре. Тогда

где ω и y – темп притока и темп оттока крови для данного резервуара, соответственно. Будем считать приток крови независимым внешним сигналом. Темп оттока прежде всего зависит от давления в резервуаре, которое определяется соотношением

где Р – давление в резервуаре, С – коэффициент, определяющий эластичность кровеносного сосуда (емкость), а – константа, так называемый ненапряженный объем резервуара, т. е. такой объем крови, который может содержаться в резервуаре без повышения давления Р. Тогда темп оттока равен

где R – сопротивление сосуда току крови, b – константа, равная давлению в следующем резервуаре, куда оттекает кровь.

Система описывается тремя уравнениями (7) – (9). Чтобы привести описание системы к форме Коши, в нашем случае достаточно подставить выражения (8) и (9) в (7). Тогда получаем

Один из возможных вариантов блок-схемы и два варианта схем моделирования эластичного резервуара приведены на рис. 2.

4