Лекция №5 Нелинейные системы автоматического управления.
Исследование нелинейных систем на фазовой плоскости
Отнесение системы к линейной или нелинейной основывается на свойствах математической модели (оператора эволюции) ДС. Если математическая модель обладает свойством суперпозиции, то данная система линейна, В противном случае она является нелинейной. Напомним, что принципу суперпозиции отвечает математическая запись, в которой присутствуют только две операции: сложение (вычитание) и умножение на постоянное число. Наличие в математической модели операций умножения и деления переменных, полиномиальных и трансцендентных функций указывает на нелинейность. Заметим, что линейные модели — есть частный случай нелинейных и справедливы в определенной области пространства состояний. Такой «линеаризационный» подход, заключающийся в упрощении математического описания, достаточно распространен. Это связано, прежде всего, с тем, что теория линейных ДС достигла определенной стадии завершенности и формализации. Например, чтобы решить систему линейных дифференциальных уравнений, достаточно вспомнить курс математического анализа.
Использование линейных или квазилинейных приближений достаточно заманчиво, поскольку дает возможность применить проверенные методики и гарантирует быстрое получение результата. С другой стороны, не будет ли этот результат «пирровой победой»? Не окажется ли исследователь, выбравший простой путь, в роли рыбы, плавающей на глубине пруда и не догадывающейся, что снаружи идет дождь?
«Истинные законы не могут быть линейны», - утверждал А. Эйнштейн. Это мнение в полной мере отражает текущее развитие теории ДС, выбравшей непроторенный «нелинейный» путь. Этот путь в течение достаточно короткого времени привел к принципиально новым результатами дал возможность с оптимизмом взглянуть на проблемы, которые казались неразрешимыми.
Практически все системы управления, строго говоря, являются нелинейными, т.е. описываются нелинейными уравнениями. Линейные системы управления являются их линейными моделями, которые получаются путем обычной линеаризации — линеаризации, состоящей в разложении нелинейных функций в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных слагаемых. Однако такая линеаризация не всегда возможна. Если нелинейность допускает обычную линеаризацию, то такая нелинейность называется несущественной. В противном случае нелинейность называется существенной. Существенными нелинейностями обладают всякого рода релейные элементы. Даже в тех случаях, когда обычная линеаризация возможна, часто на конечном этапе исследования может потребоваться рассмотрение исходной нелинейной модели.
Нелинейные системы по сравнению с линейными обладают рядом принципиальных особенностей. В частности, такими особенностями является следующее:
— не выполняется принцип суперпозиции, и исследование нелинейной системы при нескольких воздействиях нельзя сводить к исследованию при одном воздействии;
—устойчивость и характер переходного процесса зависят от величины начального отклонения от положения равновесия;
—при фиксированных внешних воздействиях возможны несколько (а иногда и бесконечное множество) положений равновесия;
—возникают свободные установившиеся процессы, которые в линейных системах невозможны (например, автоколебания).
Универсальных аналитических (математических) методов исследования нелинейных систем нет. В процессе развития теории автоматического управления были разработаны различные математические методы анализа и синтеза нелинейных систем,
каждый из которых применим для определенного класса систем и задач. Наиболее широко используемыми методами исследования нелинейных систем являются:
—метод фазовой плоскости;
—метод функций Ляпунова;
—метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса) ;
—методы исследования абсолютной устойчивости.
